Найти область сходимости ряда с общим членом

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Нам необходимо найти область сходимости ряда с общим членом:

u_n = \frac{3^n \cdot (x - 3)^n}{n}.

Для определения области сходимости ряда применим радиус сходимости, используя признак д’Аламбера.

Шаг 1: Применение признака д’Аламбера

Признак д’Аламбера гласит, что ряд \sum u_n сходится, если предел отношения модулей соседних членов ряда меньше 1:

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| < 1.

Подставим выражение для u_n:

u_n = \frac{3^n \cdot (x - 3)^n}{n},
u_{n+1} = \frac{3^{n+1} \cdot (x - 3)^{n+1}}{n+1}.

Найдём отношение \frac{u_{n+1}}{u_n}:

 \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{3^{n+1} \cdot (x - 3)^{n+1}}{n+1}}{\frac{3^n \cdot (x - 3)^n}{n}} = \frac{3^{n+1} \cdot (x - 3)^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{3^n \cdot (x - 3)^n}. 

Упростим выражение:

 \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \cdot (x - 3) \cdot n}{n+1}. 

Шаг 2: Переход к пределу

Найдём предел при n \to \infty:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3 \cdot (x - 3) \cdot n}{n+1} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 3 \cdot (x - 3) \cdot \frac{n}{n+1} \right|. 

Так как \frac{n}{n+1} \to 1 при n \to \infty, то:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \left| 3 \cdot (x - 3) \right|. 

Шаг 3: Условие сходимости

Для сходимости ряда необходимо, чтобы:

 \left| 3 \cdot (x - 3) \right| < 1. 

Разделим на 3:

 \left| x - 3 \right| < \frac{1}{3}. 

Шаг 4: Область сходимости

Из неравенства \left| x - 3 \right| < \frac{1}{3} следует, что:

 3 - \frac{1}{3} < x < 3 + \frac{1}{3}. 

Или, в виде интервала:

 x \in \left( 3 - \frac{1}{3}, 3 + \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right). 

Шаг 5: Проверка на концах интервала

На концах интервала x = \frac{8}{3} и x = \frac{10}{3} проверим поведение ряда. При подстановке этих значений \left| 3 \cdot (x - 3) \right| = 1, что может приводить к расходимости (зависит от поведения общего члена). Таким образом, сходимость на концах нужно анализировать отдельно.

Ответ: Область сходимости ряда:
x \in \left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right).