Найти область сходимости ряда под б

Этот вопрос относится к разделу математического анализа, а именно к исследованию области сходимости рядов.

Рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n}{(n+1)^2} \] Найдем область сходимости этого ряда с помощью радиуса сходимости. Для этого применим признак радикала (теорема Коши): \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}} \] Где \(a_n = \frac{3^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n}{(n+1)^2}\). Найдём \(\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\):

\[ \sqrt[n]{\left|a_n\right|} = \sqrt[n]{\left|\frac{3^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n}{(n+1)^2}\right|} = \frac{3 \left|\frac{x-1}{2}\right|}{\sqrt[n]{(n+1)^2}} = \frac{3 \left|x-1\right|}{2 \cdot \sqrt[n]{(n+1)^2}} \] Так как \(\sqrt[n]{(n+1)^2} \to 1\) при \(n \to \infty\), то:

\[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} = \frac{3 \left|x-1\right|}{2} \] Теперь подставим это в формулу радиуса сходимости \( R \): \[ R = \frac{1}{\frac{3 \left|x-1\right|}{2}} = \frac{2}{3 \left|x-1\right|} \]

Ряд сходится, когда \(\left|x-1\right| < \frac{2}{3}\), то есть: \[ - \frac{2}{3} < x-1 < \frac{2}{3} \] Отсюда: \[ \frac{1 - \frac{2}{3}}{1} < x < \frac{2}{3}{+1} \] \[ \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3} \]

Таким образом, область сходимости ряда: \[ -\frac{1}{3} < x < \frac{5} \;.