Найти область сходимости ряда и проверить концы интервала

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Дана задача: найти область сходимости ряда и проверить концы интервала. Рассмотрим ряд

\sum_{n=2}^\infty \frac{5^{-n}}{2n^2 - n} \left(\frac{x}{2} - 1\right)^n.

Шаг 1. Общий вид ряда

Обозначим a_n = \frac{5^{-n}}{2n^2 - n} \left(\frac{x}{2} - 1\right)^n. Для определения области сходимости применим радиус сходимости (формулу Коши-Гадармара) или признак Д’Аламбера.

Шаг 2. Признак Д’Аламбера

Рассмотрим отношение модулей последовательных членов ряда:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1. 

Подставим a_n:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{5^{-(n+1)}}{2(n+1)^2 - (n+1)} \left(\frac{x}{2} - 1\right)^{n+1}}{\frac{5^{-n}}{2n^2 - n} \left(\frac{x}{2} - 1\right)^n}. 

Упростим:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{-n-1} (2n^2 - n) \left(\frac{x}{2} - 1\right)}{5^{-n} (2(n+1)^2 - (n+1))}. 

Заметим, что 5^{-n-1} = \frac{5^{-n}}{5}. Упростим дробь:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac{x}{2} - 1\right) (2n^2 - n)}{5 \cdot (2(n+1)^2 - (n+1))}. 

При n \to \infty старшие члены числителя и знаменателя доминируют. Для числителя: 2n^2, для знаменателя: 2(n+1)^2 \approx 2n^2. Тогда:

 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left|\frac{x}{2} - 1\right|}{5}. 

Шаг 3. Радиус сходимости

Для сходимости ряда необходимо:

 \frac{\left|\frac{x}{2} - 1\right|}{5} < 1. 

Умножим на 5:

 \left|\frac{x}{2} - 1\right| < 5. 

Распишем модуль:

 -5 < \frac{x}{2} - 1 < 5. 

Добавим 1 ко всем частям неравенства:

 -4 < \frac{x}{2} < 6. 

Умножим на 2:

 -8 < x < 12. 

Шаг 4. Проверка концов интервала

Проверим сходимость ряда при x = -8 и x = 12.

1. При x = -8:
   Подставим x = -8 в \left(\frac{x}{2} - 1\right):

 \frac{-8}{2} - 1 = -4 - 1 = -5. 

Тогда ряд принимает вид:

 \sum_{n=2}^\infty \frac{5^{-n}}{2n^2 - n} (-5)^n. 

Здесь 5^{-n} \cdot (-5)^n = (-1)^n. Члены ряда не стремятся к нулю, ряд расходится.

2. При x = 12:
   Подставим x = 12:

 \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5. 

Ряд принимает вид:

 \sum_{n=2}^\infty \frac{5^{-n}}{2n^2 - n} 5^n. 

Здесь 5^{-n} \cdot 5^n = 1. Члены ряда не стремятся к нулю, ряд расходится.

Ответ:

Область сходимости ряда: x \in (-8, 12).