Найти область сходимости ряда и найти сумму ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Задание 8. Найти область сходимости ряда

\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^3}{3^{2n}} (x+2)^n.

Решение:

Для определения области сходимости ряда используем радиус сходимости, который можно найти с помощью признака Д'Аламбера. Пусть общий член ряда:

a_n = \frac{(n+1)^3}{3^{2n}} (x+2)^n.

Применяем признак Д'Аламбера:

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1.

Запишем отношение:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)^3}{3^{2(n+1)}} (x+2)^{n+1}}{\frac{(n+1)^3}{3^{2n}} (x+2)^n} = \frac{(n+2)^3}{(n+1)^3} \cdot \frac{(x+2)}{9}. 

Переходим к пределу:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)^3}{(n+1)^3} \cdot \frac{|x+2|}{9}. 

Так как \frac{(n+2)^3}{(n+1)^3} \to 1 при n \to \infty, то:

 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{|x+2|}{9}. 

Для сходимости ряда должно выполняться неравенство:

 \frac{|x+2|}{9} < 1. 

Решаем его:

 |x+2| < 9. 

Таким образом, радиус сходимости равен R = 9, а центр — x_0 = -2. Область сходимости:

 -11 < x < 7. 

Теперь проверим сходимость на концах интервала:

1. При x = -11: Подставим x = -11 в ряд. Общий член становится:

    a_n = \frac{(n+1)^3}{3^{2n}} (-9)^n. 

   Члены ряда не стремятся к нулю, так как знаменатель растет медленнее числителя. Следовательно, ряд расходится.

2. При x = 7: Подставим x = 7 в ряд. Общий член становится:

    a_n = \frac{(n+1)^3}{3^{2n}} \cdot 9^n. 

   Аналогично, ряд расходится.

Итоговая область сходимости:

 x \in (-11, 7). 

Задание 9. Найти сумму ряда

\sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{8^n}.

Решение:

Общий член ряда:

 a_n = \frac{4(-1)^{n+1}}{8^n}. 

Вынесем постоянный множитель 4 за знак суммы:

 \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{8^n} = 4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{8^n}. 

Обозначим:

 S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{8^n}. 

Это знакочередующийся геометрический ряд с первым членом:

 b_1 = \frac{1}{8}, 

и знаменателем:

 q = -\frac{1}{8}. 

Сумма бесконечного геометрического ряда вычисляется по формуле:

 S = \frac{b_1}{1 - q}. 

Подставляем значения:

 S = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \left(-\frac{1}{8}\right)} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{9}{8}} = \frac{1}{9}. 

Теперь возвращаемся к исходной сумме:

 \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{8^n} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}. 

Ответ:

Сумма ряда равна:

 \frac{4}{9}.