Найти область сходимости

Это задание из высшей математики, а точнее из раздела математического анализа, связанного с исследованием рядов и их сходимости.

Задача состоит в том, чтобы найти область сходимости ряда: ∑ (x + 5)^n^2 / (n + 1)^n, от n = 0 до ∞. Для определения области сходимости такого ряда обычно используют признаки сходимости. В данном случае удобно применить признак Даламбера, так как имеется предел отношения последовательных членов ряда.

Признак Даламбера гласит, что ряд ∑ a_n сходится, если предел lim (n->∞) |a_(n+1) / a_n| < 1, и расходится, если этот предел больше единицы. Посчитаем этот предел для нашего ряда:

a_n = (x + 5)^n^2 / (n + 1)^n. a_(n+1) = (x + 5)^(n+1)^2 / (n + 2)^(n+1).

Теперь найдем отношение a_(n+1) / a_n: a_(n+1) / a_n = [(x + 5)^(n+1)^2 / (n + 2)^(n+1)] / [(x + 5)^n^2 / (n + 1)^n] = (x + 5)^(2n+2) / (n + 2)^(n+1) * (n + 1)^n / (x + 5)^n^2.

Упростим это выражение: = [(x + 5)^(2n+2) / (x + 5)^n^2] * [(n + 1)^n / (n + 2)^(n+1)], = (x + 5)^2 * [(n + 1)^n / (n + 2)^(n+1)].

Теперь найдем предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности: lim (n->∞) (x + 5)^2 * [(n + 1)^n / (n + 2)^(n+1)].

Заметим, что (x + 5)^2 не зависит от n и выберем только ту часть выражения, которая содержит n: lim (n->∞) [(n + 1)^n / (n + 2)^(n+1)]. Преобразуем этот предел, используя свойства пределов и натуральные логарифмы: lim (n->∞) (n + 1)^n / (n + 2)^(n+1) = lim (n->∞) [(n + 1) / (n + 2)]^n * 1/(n + 2). Первый множитель стремится к e^(-1), а второй множитель стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности. Так что вся правая часть стремится к нулю.

Таким образом, lim (n->∞) (a_(n+1) / a_n) = (x + 5)^2 * 0 = 0 < 1. Это значит, что ряд сходится для всех x.

Итак, область сходимости ряда - вся числовая прямая, то есть (-∞, +∞).