Найти область сходимости функционального ряда верхний предел плюс бесконечность

Задание относится к математике, а именно к разделу "математический анализ", подразделу "теория рядов".

Условие задачи:

Нам дан функциональный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n x}}, \] где \(x\) — переменная. Нужно найти область сходимости этого ряда, то есть определить такие значения \(x\), при которых этот ряд сходится.

Шаг 1: Общие соображения

Для того чтобы исследовать вопрос сходимости ряда, можно попытаться воспользоваться известными тестами сходимости, например признаком d'Aламбера или признаком корня. Также нужно помнить критерии сходимости гармонических рядов (рядов вида \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\), где \(p > 1 \)).

Шаг 2: Признак корня Коши

Для исследования поведения сходимости рядов такого рода удобно воспользоваться признаком корня Коши. Рассмотрим последовательность членров ряда — \( a_n = \frac{1}{n^{nx}} \). Признак гласит, что для ряда \( \sum a_n \) нужно рассмотреть следующий предел: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \] Если предел меньше 1, ряд сходится. Если больше 1 — расходится.

Шаг 3: Применение признака корня

Найдем корень n-ой степени из \(a_n = \frac{1}{n^{n x}}\): \[ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n x}}} = \frac{1}{n^x}. \] Теперь найдем предел для этого выражения при \( n \to +\infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^x} = 0 \quad \text{при} \quad x > 0, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^x} = 1 \quad \text{при} \quad x = 0, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^x} = +\infty \quad \text{при} \quad x < 0. \]

Шаг 4: Вывод условий сходимости

1. Если \(x > 0\), то предел равен 0, и ряд сходится.
2. Если \(x = 0\), то предел равен 1, и по признаку корня в этом случае ряд расходится.
3. Если \(x < 0\), предел стремится к бесконечности, и ряд расходится.

Ответ:

Область сходимости данного ряда — \( x > 0 \).