Найти область сходимости функционального ряда

Изображенное задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ", подраздел "Ряды".

Имеем функциональный ряд:

∑ (1 + 1/n)^n * 2^n * x^n

Для определения области сходимости функционального ряда используем признак Д’Аламбера (или признак отношения), который заключается в следующем:

Рассматриваем предел:

L = lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n|

Где

a_n = (1 + 1/n)^n * 2^n * x^n

a_(n+1) = (1 + 1/(n+1))^(n+1) * 2^(n+1) * x^(n+1)

Подставим в предел:

L = lim (n→∞) |((1 + 1/(n+1))^(n+1) * 2^(n+1) * x^(n+1)) / ((1 + 1/n)^n * 2^n * x^n)|

Упростим это выражение:

= lim (n→∞) |(1 + 1/(n+1))^(n+1) / (1 + 1/n)^n| * |2 * x|

Известно, что (1 + 1/n)^n сходится к e, то есть (1 + 1/(n+1))^(n+1) примерно как e. Поэтому:

lim (n→∞) |(1 + 1/(n+1))^(n+1) / (1 + 1/n)^n| = e/e = 1.

Тогда:

L = |2x| * 1 = |2x|.

Для сходимости ряда по признаку Д’Аламбера необходимо, чтобы L < 1, то есть:

|2x| < 1

Решив это неравенство, получаем:

|x| < 1/2

Таким образом, область сходимости данного функционального ряда — это интервал (-1/2, 1/2).