Найти область сходимости функционального ряда

Условие:

Решение:

Вы хотите найти область сходимости рада \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{2+x}{2-x}\right)^n\). Для этого можно использовать признак Даламбера: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+2)}\left(\frac{2+x}{2-x}\right)^{n+1}}{\frac{1}{(n+1)}\left(\frac{2+x}{2-x}\right)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n+2} \cdot \frac{2+x}{2-x} \right|. \] При больших \(n\), \(\frac{n+1}{n+2}\) стремится к \(1\), так что предел можно упростить до: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2+x}{2-x} \right|. \] Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если этот предел меньше \(1\), и расходится, если предел больше \(1\). Значит, область сходимости будет определяться неравенством: \[ \left| \frac{2+x}{2-x} \right| < 1. \] Решая это неравенство, получаем: \[ \frac{2+x}{2-x} < 1 \quad \text{и} \quad \frac{2+x}{2-x} > -1. \] Если раскрыть первое неравенство, имеем: \[ 2+x < 2-x \quad \Rightarrow \quad x < 0. \] И для второго неравенства: \[ 2+x > -(2-x) \quad \Rightarrow \quad x > -4. \] Итак, область сходимости этого ряда будет пересечением обоих неравенств: \[ -4 < x < 0. \] Однако следует также проверить граничные точки (\(x = -4\) и \(x = 0\)) отдельно, чтобы увидеть, сходится ли ряд в них. При \(x = -4\), ряд превращается в \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{-2}{6}\right)^n\), который является знакочередующимся геометрическим рядом и сходится. При \(x = 0\), ряд становится \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}\), который является гармоническим рядом и, как известно, расходится. Таким образом, областью сходимости будет интервал: \[ -4 \leq x < 0. \]