Найти область сходимости этого ряда

Предмет: Математика
Раздел: Ряды

Дан ряд:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2n}}{n^2 \cdot 4^n}

Нам нужно найти область сходимости этого ряда.

Шаг 1: Применение признака сходимости

Для исследования области сходимости используем радиус сходимости ряда. Применим признак Д'Аламбера:
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1,
где a_n = \frac{(x-1)^{2n}}{n^2 \cdot 4^n}.

Шаг 2: Выражение для \frac{a_{n+1}}{a_n}

Подставляем a_n и a_{n+1}:
a_{n+1} = \frac{(x-1)^{2(n+1)}}{(n+1)^2 \cdot 4^{n+1}}, \quad a_n = \frac{(x-1)^{2n}}{n^2 \cdot 4^n}.

Находим отношение:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x-1)^{2(n+1)}}{(n+1)^2 \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{n^2 \cdot 4^n}{(x-1)^{2n}} = \frac{(x-1)^2}{4} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}.

Шаг 3: Предел при n \to \infty

Рассмотрим предел:
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)^2}{4} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \right|.

При n \to \infty, предел \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1. Тогда:
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(x-1)^2}{4}.

Для сходимости ряда должно выполняться условие:
\frac{(x-1)^2}{4} < 1.

Шаг 4: Найдем область сходимости

Решим неравенство:
\frac{(x-1)^2}{4} < 1 \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2 < 4.

Извлекаем корень:
|x-1| < 2.

Получаем интервал:
-2 < x-1 < 2 \quad \Rightarrow \quad -1 < x < 3.

Шаг 5: Проверка концов интервала

На концах интервала x = -1 и x = 3 необходимо проверить сходимость ряда:

1. При x = -1:
   Подставляем x = -1 в ряд:
   \sum_{n=1}^\infty \frac{((-1-1)^{2n})}{n^2 \cdot 4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n^2 \cdot 4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.
   Этот ряд сходится (это ряд Дирихле).

2. При x = 3:
   Подставляем x = 3 в ряд:
   \sum_{n=1}^\infty \frac{((3-1)^{2n})}{n^2 \cdot 4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n^2 \cdot 4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.
   Этот ряд также сходится.

Ответ:

Область сходимости ряда:
x \in [-1, 3].