Найти область сходимости бесконечного ряда

Этот вопрос относится к курсу математического анализа, раздел "Ряды". Нам нужно найти область сходимости бесконечного ряда. Рассмотрим данный ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (x + 4)^n \frac{7^n n^4}{9^n \sqrt[3]{8n^4 + n^9}} \]

Для нахождения области сходимости ряда удобно использовать критерий сходимости радикальный признак Коши или д'Аламбера. В данном случае проще применить д'Аламбера:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] где \( a_n = (x + 4)^n \frac{7^n n^4}{9^n \sqrt[3]{8n^4 + n^9}} \).

Выпишем \( a_{n+1} \):

\[ a_{n+1} = (x + 4)^{n+1} \frac{7^{n+1} (n+1)^4}{9^{n+1} \sqrt[3]{8(n+1)^4 + (n+1)^9}} \]

Теперь найдем \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x + 4)^{n+1} \frac{7^{n+1} (n+1)^4}{9^{n+1} \sqrt[3]{8(n+1)^4 + (n+1)^9}}}{(x + 4)^n \frac{7^n n^4}{9^n \sqrt[3]{8n^4 + n^9}}} \]

Упростим это выражение:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (x + 4) \cdot \frac{7 \cdot (n+1)^4}{9 \cdot n^4} \cdot \frac{\sqrt[3]{8n^4 + n^9}}{\sqrt[3]{8(n+1)^4 + (n+1)^9}} \]

Рассмотрим предел каждого из множителей по отдельности при \( n \to \infty \).

1. \( (x + 4) \) -- постоянное.

2. Для второй части:

\[ \frac{7(n+1)^4}{9n^4} \approx \frac{7n^4}{9n^4} = \frac{7}{9} \]

3. Теперь рассмотрим предел третьей части:

\[ \frac{\sqrt[3]{8n^4 + n^9}}{\sqrt[3]{8(n+1)^4 + (n+1)^9}} \approx \frac{\sqrt[3]{n^9}}{\sqrt[3]{(n^9)}} = \frac{n^3}{n^3} = 1 \]

Итак, у нас остается:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| (x + 4) \cdot \frac{7}{9} \cdot 1 \right| = \left| (x + 4) \cdot \frac{7}{9} \right| \]

Теперь рассмотрим условия сходимости ряда:

Чтобы ряд сходился, по признаку д'Аламбера необходимо \( L < 1 \):

\[ \left| (x + 4) \cdot \frac{7}{9} \right| < 1 \]

Решая это неравенство, находим область значений \( x \):

\[ - \frac{9}{7} < x + 4 < \frac{9}{7} \]

Отсюда:

\[ - \frac{9}{7} - 4 < x < \frac{9}{7} - 4 \]

То есть,

\[ - \frac{37}{7} < x < - \frac{19}{7} \]

Ответ: \( x \in \left( - \frac{37}{7}, - \frac{19}{7} \right) \).