Найти коэффициент а3 разложения в ряд Фурье функции

Данный пример относится к математике, а именно к разделу математического анализа и его теме — разложения функций в ряд Фурье.

Постановка задачи:

Требуется найти коэффициент \(a_3\) косинусного разложения в ряд Фурье заданной кусочной функции:

\[ f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi < x \leq 0, \\ 2, & 0 < x < \pi. \end{cases} \]

Рассмотрим шаги по поиску коэффициента ряда Фурье.

Теория:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx. \]

Коэффициент \(a_n\) вычисляется путем интегрирования произведения функции \(f(x)\) и \(\cos(nx)\) на указанном интервале (\(-\pi\) до \(\pi\)).

Разложение на интервалы:

Функция \(f(x)\) задана кусочно, поэтому интеграл разобьем на два участка:

1. [- \pi, 0], где \(f(x) = -1\),
2. [0, \pi], где \(f(x) = 2\).

Запишем формулу для \(a_3\):

\[ a_3 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(3x) \, dx. \]

Заменяем функцию \(f(x)\):

\[ a_3 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \cos(3x) \, dx + \int_{0}^{\pi} 2 \cos(3x) \, dx \right). \]

Вычисления:

Первый интеграл:

\[ \int_{-\pi}^0 (-1) \cos(3x) \, dx = - \int_{-\pi}^{0} \cos(3x) \, dx. \]

Вспомним основное свойство интеграла:

\[ \int \cos(kx) \, dx = \frac{\sin(kx)}{k}. \]

Применим это:

\[ \int_{-\pi}^0 \cos(3x) \, dx = \left[ \frac{\sin(3x)}{3} \right]_{-\pi}^0. \]

Подставляем пределы:

\[ \int_{-\pi}^0 \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3 \cdot 0)}{3} - \frac{\sin(3 \cdot (-\pi))}{3} = 0 - \frac{\sin(-3\pi)}{3}. \]

Так как \(\sin(-3\pi) = 0\), то:

\[ \int_{-\pi}^0 \cos(3x) \, dx = 0. \]

Таким образом:

\[ \int_{-\pi}^{0} (-1) \cos(3x) \, dx = 0. \]

Второй интеграл:

\[ \int_{0}^{\pi} 2 \cos(3x) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx. \]

Используем ту же формулу:

\[ \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx = \left[ \frac{\sin(3x)}{3} \right]_{0}^{\pi}. \]

Подставляем пределы:

\[ \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3 \pi)}{3} - \frac{\sin(0)}{3}. \]

Поскольку \(\sin(3\pi) = 0\) и \(\sin(0) = 0\), то:

\[ \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx = 0. \]

Отсюда:

\[ \int_{0}^{\pi} 2 \cos(3x) \, dx = 2 \cdot 0 = 0. \]

Итог:

\[ a_3 = \frac{1}{\pi} \left( 0 + 0 \right) = 0. \]

Таким образом, коэффициент \(a_3 = 0\).