Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах

Предмет: Математика
Раздел: Числовые и степенные ряды

Задание: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах.

Дан ряд:

\sum_{n=2}^\infty \frac{(x-1)^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)}.

Решение

1. Определение радиуса сходимости

Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся признаком Коши для степенных рядов. Рассмотрим общий член ряда:

a_n = \frac{(x-1)^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)}.

Применим признак Коши для нахождения радиуса сходимости:

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1. 

Рассмотрим модуль общего члена ряда:

|a_n| = \frac{|x-1|^n}{2^n (n+2) \ln(n+1)}.

Теперь вычислим:

 \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|x-1|}{2} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{(n+2) \ln(n+1)}}. 

При n \to \infty выражение \sqrt[n]{(n+2) \ln(n+1)} \to 1, так как логарифмическая и линейная функции растут медленнее, чем экспоненциальная. Следовательно:

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{|x-1|}{2}. 

Для сходимости ряда необходимо выполнение условия:

 \frac{|x-1|}{2} < 1 \quad \Rightarrow \quad |x-1| < 2. 

Таким образом, радиус сходимости равен R = 2, а интервал сходимости:

 x \in (1-2, 1+2) = (-1, 3). 

2. Исследование сходимости на концах интервала

Рассмотрим концы интервала: x = -1 и x = 3.

Случай 1: x = -1

Подставим x = -1 в ряд:

 \sum_{n=2}^\infty \frac{((-1)-1)^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)} = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-2)^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)} = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n+2) \ln(n+1)}. 

Этот ряд является расходящимся, так как знаменатель растет недостаточно быстро (можно проверить с помощью признака сравнения с гармоническим рядом).

Случай 2: x = 3

Подставим x = 3 в ряд:

 \sum_{n=2}^\infty \frac{((3)-1)^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)} = \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{(-2)^n (n+2) \ln(n+1)} = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+2) \ln(n+1)}. 

Этот ряд является условно сходящимся (можно доказать с помощью признака Лейбница, так как члены ряда убывают и стремятся к нулю).

Ответ

1. Интервал сходимости ряда: x \in (-1, 3].
2. На концах интервала:
   • При x = -1 ряд расходится.
   • При x = 3 ряд условно сходится.