Найти и построить область сходимости ряда

Предмет: Математика Раздел: Теория функций комплексной переменной / Ряды комплексных чисел

Нам необходимо найти область сходимости комплексного степенного ряда: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (3^n + n)(z + 1 - 2i)^n. \]

Для нахождения области сходимости ряда воспользуемся признаком Коши-Адамара, который помогает определить радиус сходимости ряда. Этот признак применяется к степенному ряду в виде: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n, \] где радиус сходимости \(R\) можно найти по формуле: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}. \]

Шаг 1: Преобразование ряда

Исследуем задачу по частям.

1. Параметры ряда зависят от \(c_n = 3^n + n\). Следовательно, можем считать: \[ c_n = (3^n + n), \] и ряд принимает вид: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (3^n + n)(z + 1 - 2i)^n. \]
2. Функция \( (z + 1 - 2i)^n \) говорит, что центр ряда — точка \( z_0 = -1 + 2i \).

Шаг 2: Нахождение радиуса сходимости

Для нахождения радиуса сходимости применим признак Коши-Адамара. Необходимо вычислить: \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|3^n + n|}. \] Заметим, что при достаточно больших \(n\) величина \(3^n\) будет доминировать над \(n\), то есть \(3^n + n \sim 3^n\) при \(n \to \infty\). Следовательно: \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|3^n + n|} \sim \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|3^n|} = 3. \] Таким образом, обратная величина (которая и является радиусом сходимости): \[ R = \frac{1}{3}. \]

Шаг 3: Построение области сходимости

Итог: Область сходимости ряда — это круг с центром в точке \(z_0 = -1 + 2i\) и радиусом \(R = \frac{1}{3}\).