Найти и построить область сходимости ряда

Предмет: Математика Раздел: Теория функций комплексной переменной / Ряды комплексных чисел

Нам необходимо найти область сходимости комплексного степенного ряда: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(3^n+n)(z+1-2i{)}^n.\text{]}$

Для нахождения области сходимости ряда воспользуемся признаком Коши-Адамара, который помогает определить радиус сходимости ряда. Этот признак применяется к степенному ряду в виде: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n,\text{]}$ где радиус сходимости $\text{(}R\text{)}$ можно найти по формуле: $\text{[}\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|c_n|}.\text{]}$

Шаг 1: Преобразование ряда

Исследуем задачу по частям.

1. Параметры ряда зависят от $\text{(}{c}_n=3^n+n\text{)}$. Следовательно, можем считать: $\text{[}{c}_n=(3^n+n),\text{]}$ и ряд принимает вид: $\text{[}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(3^n+n)(z+1-2i{)}^n.\text{]}$
2. Функция $\text{(}(z+1-2i{)}^n\text{)}$ говорит, что центр ряда — точка $\text{(}{z}_0=-1+2i\text{)}$.

Шаг 2: Нахождение радиуса сходимости

Для нахождения радиуса сходимости применим признак Коши-Адамара. Необходимо вычислить: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|3^n+n|}.\text{]}$ Заметим, что при достаточно больших $\text{(}n\text{)}$ величина $\text{(}{3}^n\text{)}$ будет доминировать над $\text{(}n\text{)}$, то есть $\text{(}{3}^n+n\sim 3^n\text{)}$ при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$. Следовательно: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|3^n+n|}\sim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|3^n|}=3.\text{]}$ Таким образом, обратная величина (которая и является радиусом сходимости): $\text{[}R=\frac{1}{3}.\text{]}$

Шаг 3: Построение области сходимости

Итог: Область сходимости ряда — это круг с центром в точке $\text{(}{z}_0=-1+2i\text{)}$ и радиусом $\text{(}R=\frac{1}{3}\text{)}$.