Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данный документ относится к предмету "Высшая математика", и задания охватывают следующие разделы:

1. Исследование функции на экстремум (раздел "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных").
2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка (раздел "Дифференциальные уравнения").
3. Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (раздел "Дифференциальные уравнения").
4. Исследование сходимости числового ряда (раздел "Ряды").
5. Определение интервала и радиуса сходимости степенного ряда (раздел "Ряды").

Приступим к решению заданий 2, 3 и 5.

Задание 2

Найти общее решение дифференциального уравнения:
dy - 3(x^2 - 1) \, dx = 0

Решение:

Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, которое можно записать в форме:
\frac{dy}{dx} = 3(x^2 - 1).

1. Интегрируем правую часть:
   y = \int 3(x^2 - 1) dx.

2. Найдем первообразную:
   y = 3 \int x^2 dx - 3 \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 3x + C = x^3 - 3x + C,
   где C — произвольная постоянная.

Общее решение:
y = x^3 - 3x + C.

Задание 3

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
y'' + 2y' + 5y = 0,
удовлетворяющее начальным условиям:
y(0) = 1, y'(0) = 1.

Решение:

1. Характеристическое уравнение:
   \lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение:
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.

Корни: \lambda_1 = -1 + 2i, \lambda_2 = -1 - 2i.

2. Общее решение уравнения:
   y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)),
   где C_1 и C_2 — произвольные константы.

3. Используем начальные условия для определения C_1 и C_2:

• Подставляем y(0) = 1:
  y(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = 1.

• Найдем производную y'(x):
  y'(x) = e^{-x}(-C_1 \cos(2x) - C_2 \sin(2x)) + e^{-x}(-2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x)).

Подставляем y'(0) = 1:
y'(0) = e^{0}(-C_1 + 2C_2) = -C_1 + 2C_2 = 1.

Так как C_1 = 1, имеем:
-1 + 2C_2 = 1,
2C_2 = 2,
C_2 = 1.

4. Частное решение:
   y(x) = e^{-x}(\cos(2x) + \sin(2x)).

Задание 5

Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{n(n+1)}.

Решение:

1. Применим критерий сходимости Коши (радиус сходимости):
   Рассмотрим общий член ряда:
   a_n = \frac{(x+4)^n}{n(n+1)}.

Определим отношение:
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(x+4)^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{(x+4)^n} \right| = \left| \frac{(x+4) \cdot n}{(n+2)} \right|.

При n \to \infty:
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to |x+4|.

Для сходимости ряда необходимо:
|x+4| < 1.

2. Радиус сходимости:
   R = 1.

3. Интервал сходимости:
   x+4 \in (-1, 1) \implies x \in (-5, -3).

Проверим концы интервала:

• При x = -5:
  a_n = \frac{(-1)^n}{n(n+1)} — знакочередующийся ряд. Однако его общий член \frac{1}{n(n+1)} стремится к нулю быстрее, чем \frac{1}{n}, поэтому ряд сходится.

• При x = -3:
  a_n = \frac{1}{n(n+1)} — положительный и сходится, так как общий член убывает быстрее, чем \frac{1}{n}.

Ответ:

• Радиус сходимости: R = 1.
• Интервал сходимости: x \in [-5, -3].