Найдите значение частичной суммы

Этот вопрос относится к предмету математики, разделу "Ряды" и "Вычисление частичных сумм ряда".

Давайте найдем значение частичной суммы \( S_4 \) ряда: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^2}\]

Для частичной суммы \( S_4 \) мы берем сумму первых четырех членов ряда: \[S_4 = \sum_{n=1}^{4} \frac{n+2}{n^2}\]

Теперь вычислим каждый из этих членов отдельно:

Для \( n=1 \): \[\frac{1+2}{1^2} = \frac{3}{1} = 3\]

Для \( n=2 \): \[\frac{2+2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1\]

Для \( n=3 \): \[\frac{3+2}{3^2} = \frac{5}{9}\]

Для \( n=4 \): \[\frac{4+2}{4^2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\]

Теперь складываем все это:

\[S_4 = 3 + 1 + \frac{5}{9} + \frac{3}{8}\]

Приведем к общему знаменателю для удобства:

Общий знаменатель для \(1, 9,\) и \( 8\) будет \( 72 \). Переведем каждую дробь:

\[3 = \frac{3 \cdot 72}{72} = \frac{216}{72}\]

\[1 = \frac{1 \cdot 72}{72} = \frac{72}{72}\]

\[\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72}\]

\[\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}\]

Теперь сложим все:

\[S_4 = \frac{216}{72} + \frac{72}{72} + \frac{40}{72} + \frac{27}{72} = \frac{216 + 72 + 40 + 27}{72} = \frac{355}{72}\]

Число \( \frac{355}{72} \) можно представить как \( 4 \frac{355 - 288}{72} = 4 \frac{67}{72} \)

Таким образом, правильный ответ: \[\boxed{4 \frac{67}{72}}\]