Найдите три первых отличных от нуля члена разложения решения задачи Коши в степенной ряд

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, степенные ряды (разложение решений ОДУ в ряд Тейлора)

Задание: Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши:

y' = x y^2 - 1, \quad y(0) = -2

Шаг 1: Представим решение в виде степенного ряда

Предположим, что решение уравнения можно представить в виде степенного ряда в окрестности точки x = 0:

y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n

Тогда:

y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}

Также, по начальному условию:

y(0) = a_0 = -2

Шаг 2: Выражаем правую часть уравнения

Нам нужно вычислить xy^2. Сначала найдём y^2:

y^2 = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)^2 = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n

где c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k a_{n-k} — коэффициенты свёртки (свертка коэффициентов ряда).

Тогда:

xy^2 = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1} x^n

Шаг 3: Подставим в уравнение и приравняем коэффициенты

Исходное уравнение:

y' = x y^2 - 1

Левая часть:

y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}

Правая часть:

x y^2 - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} c_{n-1} x^n - 1

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x^n.

Шаг 4: Найдём первые коэффициенты

Из условия: a_0 = -2

Степень x^0:

Левая часть: a_1
Правая часть: -1
=> a_1 = -1

Степень x^1:

Левая часть: 2a_2
Правая часть: c_0, где c_0 = a_0^2 = (-2)^2 = 4
=> 2a_2 = 4 \Rightarrow a_2 = 2

Степень x^2:

Левая часть: 3a_3
Правая часть: c_1, где c_1 = a_0 a_1 + a_1 a_0 = 2 a_0 a_1 = 2 \cdot (-2) \cdot (-1) = 4
=> 3a_3 = 4 \Rightarrow a_3 = \frac{4}{3}

Ответ:

Три первых отличных от нуля члена разложения решения задачи Коши в степенной ряд:

y(x) = -2 - x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots