Найдите области сходимости степенных рядов

Условие:

Найдите области сходимости степенных рядов:

Условие: Найдите области сходимости степенных рядов:

Решение:

Это задание относится к предмету "Математический анализ", раздел "Теория рядов" (степенные ряды и их сходимость).

Чтобы найти области сходимости степенных рядов, обычно применяется "радиус сходимости". Радиус сходимости можно найти, используя формулу Коши-Адамара или теорему Д'Аламбера. Используем формулу для радиуса сходимости ряда \(\sum a_n x^n\):

\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}. \]

Если радиус сходимости найден, он задает область сходимости ряда. Рассмотрим каждый ряд отдельно.

а) \(\sum_{n=1}^{\infty} 5^n x^n\)

В этом случае:

\[ a_n = 5^n. \]

Применим формулу Коши-Адамара:

\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|5^n|}} = \frac{1}{5}. \]

Значит радиус сходимости \( R = \frac{1}{5} \). Ряд сходится при \( |x| < \frac{1}{5} \).

б) \(\sum_{n=1}^{\infty} x^{2n+1}\)

Здесь \( a_n = x^{2n+1} = x x^{2n} \). Перепишем ряд в виде:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (x x^2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (x^3)^n \]

Пусть \( y = x^3 \), тогда ряд имеет вид:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} y^n \]

Для этого ряда радиус сходимости:

\[ R_y = 1 \]

Заменим обратно \( y \):

\[ |x^3| < 1 \Rightarrow |x| < 1. \]

в) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n!}}\)

В этом случае:

\[ a_n = \frac{1}{\sqrt{n!}}. \]

Для нахождения радиуса сходимости снова используем формулу Коши-Адамара:

\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|\frac{1}{\sqrt{n!}}\right|}} = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\frac{1}{(n!)^{1/2}}}}. \]

Так как ( \( \sqrt[n]{n!} \) ведет себя как \( \frac{n}{e} \) ), лимит у нас будет:

\[ \sqrt[n]{\frac{1}{(n!)^{1/2}}} = \frac{1}{(n!/2)^{1/(2n)}} \rightarrow \frac{1}{\infty} = 0. \]

Соответственно, \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n!}}} = 0 \). Значит радиус сходимости бесконечен.

г) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \ln(n+1)}\)

В этом случае нужно использовать критерий Д'Аламбера:

\[ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1) \ln((n+1)+1)}}{\frac{x^n}{n \ln(n+1)}}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{x (n \ln(n+1))}{(n+1) \ln((n+1)+1)}\right| = \frac{|x|}{\ln(n+2)}. \]

Так как \(\lim_{n \to \infty} \ln(n+2) = \infty\):

\[ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 0. \]

Соответственно, радиус сходимости бесконечен.

д) \(\sum_{n=1}^{\infty} n! x^n\)

Здесь \( a_n = n!. \) Опять используем формулу:

\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|n!|}} \]

Так как \( \sqrt[n]{n!} \) ведет себя как \( \frac{n}{e} \), получаем:

\[ R = \frac{1}{\infty} = 0. \]

Таким образом, ряд сходится только при \( x = 0 \).

Итак, суммируя радиусы сходимости всех рядов:

  • а) \( R = \frac{1}{5} \), интервал сходимости \( |x| < \frac{1}{5} \).
  • б) \( R = 1 \), интервал сходимости \( |x| < 1 \).
  • в) \( R = \infty \), ряд сходится для всех \( x \).
  • г) \( R = \infty \), ряд сходится для всех \( x \).
  • д) \( R = 0 \), ряд сходится только при \( x = 0 \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн