Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найдите области сходимости степенных рядов:
Чтобы найти области сходимости степенных рядов, обычно применяется "радиус сходимости". Радиус сходимости можно найти, используя формулу Коши-Адамара или теорему Д'Аламбера. Используем формулу для радиуса сходимости ряда \(\sum a_n x^n\):
\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}. \]
Если радиус сходимости найден, он задает область сходимости ряда. Рассмотрим каждый ряд отдельно.
В этом случае:
\[ a_n = 5^n. \]
Применим формулу Коши-Адамара:
\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|5^n|}} = \frac{1}{5}. \]
Значит радиус сходимости \( R = \frac{1}{5} \). Ряд сходится при \( |x| < \frac{1}{5} \).
Здесь \( a_n = x^{2n+1} = x x^{2n} \). Перепишем ряд в виде:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (x x^2)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (x^3)^n \]
Пусть \( y = x^3 \), тогда ряд имеет вид:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} y^n \]
Для этого ряда радиус сходимости:
\[ R_y = 1 \]
Заменим обратно \( y \):
\[ |x^3| < 1 \Rightarrow |x| < 1. \]
В этом случае:
\[ a_n = \frac{1}{\sqrt{n!}}. \]
Для нахождения радиуса сходимости снова используем формулу Коши-Адамара:
\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|\frac{1}{\sqrt{n!}}\right|}} = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\frac{1}{(n!)^{1/2}}}}. \]
Так как ( \( \sqrt[n]{n!} \) ведет себя как \( \frac{n}{e} \) ), лимит у нас будет:
\[ \sqrt[n]{\frac{1}{(n!)^{1/2}}} = \frac{1}{(n!/2)^{1/(2n)}} \rightarrow \frac{1}{\infty} = 0. \]
Соответственно, \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n!}}} = 0 \). Значит радиус сходимости бесконечен.
В этом случае нужно использовать критерий Д'Аламбера:
\[ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1) \ln((n+1)+1)}}{\frac{x^n}{n \ln(n+1)}}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{x (n \ln(n+1))}{(n+1) \ln((n+1)+1)}\right| = \frac{|x|}{\ln(n+2)}. \]
Так как \(\lim_{n \to \infty} \ln(n+2) = \infty\):
\[ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 0. \]
Соответственно, радиус сходимости бесконечен.
Здесь \( a_n = n!. \) Опять используем формулу:
\[ R = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|n!|}} \]
Так как \( \sqrt[n]{n!} \) ведет себя как \( \frac{n}{e} \), получаем:
\[ R = \frac{1}{\infty} = 0. \]
Таким образом, ряд сходится только при \( x = 0 \).
Итак, суммируя радиусы сходимости всех рядов: