Найдите области сходимости функциональных рядов

Это задание относится к разделу "математический анализ" или "теория функций".

Необходимо определить области сходимости функциональных рядов. Рассмотрим каждый ряд по отдельности:

1. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^x\text{)}$

Для изучения сходимости этого ряда, применим признак Коши (корневой тест). Он гласит, что ряд $\text{(}\sum a_n\text{)}$ сходится, если предел $\text{(}\sqrt[n]{|a_n|}<1\text{)}$. В нашем случае $\text{(}{a}_n=n^x\text{)}$. Расчитаем $\text{(}\sqrt[n]{|n^x|}\text{)}$:

$\text{[}\sqrt[n]{|n^x|}=(n^x{)}^{1/n}=n^{x/n}\text{]}$

Теперь найдем предел при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$:

$\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{x/n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{(x/n)\ln n}\text{]}$

$\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\ln n}{n}=0,\text{ так как }\ln n\text{ растет медленнее чем n.}\text{]}$

Следовательно,

$\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{x/n}=e^0=1\text{]}$

Признак Коши гласит, что ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^x\text{)}$ сходится, если предел $\text{(}\sqrt[n]{|a_n|}\text{)}$ < 1. В данном случае ряд не сходится ни при каком x, так как результат всегда равен 1.

2. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{nx}\text{)}$

Для этого ряда применим признак Д'Аламбера (первый тест сравнения). Пусть $\text{(}{a}_n=e^{nx}\text{)}$. Определим:

$\text{[}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^{(n+1)x}}{e^{nx}}=e^x\text{]}$

Если $\text{(}|e^x|<1\text{)}$, то ряд сходится.

$\text{[}|e^x|<1⟹x<0\text{]}$

Ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{nx}\text{)}$ сходится для $\text{(}x<0\text{)}$.

3. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-n}\text{)}$

Применим признак Д'Аламбера:

Пусть $\text{(}{a}_n=x^{-n}\text{)}$. Определим:

$\text{[}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{x^{-(n+1)}}{x^{-n}}=\frac{1}{x}\text{]}$

Если $\text{(}\left|\frac{1}{x}\right|<1\text{)}$, то ряд сходится.

$\text{[}\left|\frac{1}{x}\right|<1⟹|x|>1\text{]}$

Ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-n}\text{)}$ сходится для $\text{(}|x|>1\text{)}$.

Таким образом, области сходимости:

1. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^x\text{)}$ — не сходится ни при каком x.
2. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{nx}\text{)}$ — сходится при $\text{(}x<0\text{)}$.
3. $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{-n}\text{)}$ — сходится при $\text{(}|x|>1\text{)}$.