Найдите области сходимости функциональных рядов

Это задание относится к разделу "математический анализ" или "теория функций".

Необходимо определить области сходимости функциональных рядов. Рассмотрим каждый ряд по отдельности:

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} n^x\)

Для изучения сходимости этого ряда, применим признак Коши (корневой тест). Он гласит, что ряд \(\sum a_n\) сходится, если предел \(\sqrt[n]{|a_n|} < 1\). В нашем случае \(a_n = n^x\). Расчитаем \(\sqrt[n]{|n^x|}\):

\[ \sqrt[n]{|n^x|} = (n^x)^{1/n} = n^{x/n} \]

Теперь найдем предел при \(n \to \infty\):

\[ \lim_{n \to \infty} n^{x/n} = \lim_{n \to \infty} e^{(x/n) \ln n} \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{x \ln n}{n} = 0, \text{ так как } \ln n \text{ растет медленнее чем n.} \]

Следовательно,

\[ \lim_{n \to \infty} n^{x/n} = e^0 = 1 \]

Признак Коши гласит, что ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} n^x\) сходится, если предел \(\sqrt[n]{|a_n|}\) < 1. В данном случае ряд не сходится ни при каком x, так как результат всегда равен 1.

2. \(\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx}\)

Для этого ряда применим признак Д'Аламбера (первый тест сравнения). Пусть \(a_n = e^{nx}\). Определим:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e^{(n+1)x}}{e^{nx}} = e^x \]

Если \( |e^x| < 1 \), то ряд сходится.

\[ |e^x| < 1 \implies x < 0 \]

Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx}\) сходится для \( x < 0 \).

3. \(\sum_{n=1}^{\infty} x^{-n}\)

Применим признак Д'Аламбера:

Пусть \(a_n = x^{-n}\). Определим:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{-(n+1)}}{x^{-n}} = \frac{1}{x} \]

Если \(\left|\frac{1}{x}\right| < 1\), то ряд сходится.

\[\left|\frac{1}{x}\right| < 1 \implies |x| > 1\]

Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} x^{-n}\) сходится для \( |x| > 1 \).

Таким образом, области сходимости:

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} n^x\) — не сходится ни при каком x.
2. \(\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx}\) — сходится при \( x < 0 \).
3. \(\sum_{n=1}^{\infty} x^{-n}\) — сходится при \( |x| > 1 \).