Найдите область сходимости степенного ряда

Условие:

Найдите область сходимости степенного ряда (т. е. найдите интервал сходимости и исследуйте сходимость на концах интервала)

Решение:

Для нахождения области сходимости степенного ряда с общим членом \(\frac{x^n}{n^3 4^n + 1}\), используем признак Даламбера для сходимости степенных рядов. Это делается путем вычисления предела отношения последовательных членов ряда при \(n\) стремящемся к бесконечности и сравнения этого предела с единицей: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)^3 4^{n+1} + 1} \cdot \frac{n^3 4^n + 1}{x^n} \right| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{4} \cdot \frac{n^3 4^n + 1}{(n+1)^3 4^n + 4^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{4} \cdot \frac{n^3 + 4^{-n}}{(n+1)^3 + 4^{-n}} \right| \] \[ = \left| \frac{x}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 4^{-n}}{(n+1)^3 + 4^{-n}} \right| = | \frac{x}{4} | \] Условие сходимости для степенного ряда по признаку Даламбера \(L < 1\), следовательно: \[ \left| \frac{x}{4} \right| < 1 \implies -4 < x < 4 \] Таким образом, интервал сходимости ряда: \((-4, 4)\). Теперь нужно исследовать сходимость на концах интервала, то есть при \(x = -4\) и \(x = 4\). Для \(x = 4\): \[ \frac{4^n}{n^3 4^n + 1} = \frac{1}{n^3 + 4^{-n}} \] Так как \(4^{-n}\) стремится к 0 при \(n\) стремящемся к бесконечности, можно сравнить данный ряд с рядом \(\frac{1}{n^3}\), который сходится по признаку сравнения. Значит, при \(x = 4\) ряд также сходится. Для \(x = -4\): \[ \frac{(-4)^n}{n^3 4^n + 1} = \frac{(-1)^n}{n^3 + 4^{-n}} \] Этот ряд является чередующимся, и абсолютная величина его членов сходится к нулю более быстро, чем \(\frac{1}{n^3}\), что означает сходимость исходного ряда по признаку Лейбница для чередующихся рядов. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда: \([-4, 4]\).