Найди общий член числового ряда

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — числовые ряды

Задание: Найти общий член числового ряда.

Рассмотрим числовой ряд из первого варианта. Он состоит из трёх подрядов:

1. \[\frac{1}{4} + \frac{2}{5} + \frac{3}{6} + \ldots\]
2. \[\frac{3}{2} + \frac{6}{4} + \frac{9}{8} + \ldots\]
3. \[\frac{1}{4} + \frac{2}{6} + \frac{3}{8} + \ldots\]

1. Первый ряд: \[\frac{1}{4} + \frac{2}{5} + \frac{3}{6} + \ldots\]

Числитель: 1, 2, 3, ... — это \[n\]
Знаменатель: 4, 5, 6, ... — это \[n + 3\]

Общий член ряда:  u_n = \frac{n}{n + 3} 

2. Второй ряд: \[\frac{3}{2} + \frac{6}{4} + \frac{9}{8} + \ldots\]

Числитель: 3, 6, 9, ... — это \[3n\]
Знаменатель: 2, 4, 8, ... — это степени двойки: \[2^n\]

Общий член ряда:  v_n = \frac{3n}{2^n} 

3. Третий ряд: \[\frac{1}{4} + \frac{2}{6} + \frac{3}{8} + \ldots\]

Числитель: 1, 2, 3, ... — это \[n\]
Знаменатель: 4, 6, 8, ... — это чётные числа начиная с 4: \[2n + 2\]

Общий член ряда:  w_n = \frac{n}{2n + 2} 

Ответ:

Общий член каждого ряда:

1. \[\frac{n}{n + 3}\]
2. \[\frac{3n}{2^n}\]
3. \[\frac{n}{2n + 2}\]