Найти область сходимости ряда

Главная
Высшая математика
Ряды
Найти область сходимости ряда

Пример 1:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R - радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = 2 - 1 = 1
x₂ = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 - точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)

Пример 4:

Исследовать область сходимости функционального ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то

при любом х – ряд расходится всюду.

Пример 7:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20\lim_%7bn%20\to%20\infty%20%7d%7b\frac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R - радиус сходимости. Вычислим его:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20\lim_%7bn%20\to%20\infty%20%7d%7b\frac%7b\frac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d%7d%7b\frac%7bn%2B1%7d%7b2%5e%7bn%2B1%7d%7d%7d%7d%20=%202$
x1 = -1 - 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sum%7b\frac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3(-3)%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20\sum%7b(-1)%5e%7bn%7d\cdot%20n%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1<2<3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lim_%7bn%20\to%20\infty%20%7dn%20=%20\infty$

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 - точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sum%7b\frac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3\cdot%201%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20\sum%7bn%7d$
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)

Пример 8:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=4/9, то ряд принимает вид - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=2/3, то ряд принимает вид - такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).

Пример 9:

Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=-3/7, то ряд принимает вид - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=-1/7, то ряд принимает вид - такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].

Пример 11:

Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется