Найти интервал сходимости ряда.

Главная
Высшая математика
Ряды
Найти интервал сходимости ряда.

Пример 1:

Найти интервал сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Для данного ряда:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=a_%7bn%7d%20=%20\frac%7b(-1)%5e%7bn%7d%7d%7b(4\cdot%20n-1)\cdot%202%5e%7bn%7d%7d$
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20\lim_%7bn%20\to%20\infty%20%7d%7b\frac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R - радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = -2 - (-2) = 0
x₂ = -2 + (-2) = -4
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-4;0)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 0
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sum%7b\frac%7b(-1)%5e%7bn%7d%7d%7b(4\cdot%20n-1)\cdot%202%5e%7bn%7d%7d(02)%5e%7bn%7d%7d%20=%20\sum%7b\frac%7b(-1)%5e%7bn%7d%7d%7b4\cdot%20n-1%7d%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7b1%7d%7b3%7d%3E\frac%7b1%7d%7b7%7d%3E\frac%7b1%7d%7b11%7d$
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lim_%7bn%20\to%20\infty%20%7d\frac%7b(-1)%5e%7b2\cdot%20n%7d%7d%7b4\cdot%20n-1%7d%20=%200$
Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 0 - точка сходимости.
При x = -4
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sum%7b\frac%7b(-1)%5e%7bn%7d%7d%7b(4\cdot%20n-1)\cdot%202%5e%7bn%7d%7d((-4)%2B2)%5e%7bn%7d%7d%20=%20\sum%7b\frac%7b(-1)%5e%7b2\cdot%20n%7d%7d%7b4\cdot%20n-1%7d%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, и он расходится.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-4;0].