Нахождения коэффициентов ряда Фурье

Этот вопрос относится к дисциплине математический анализ, конкретно к теме разложения функций в ряд Фурье.

Для нахождения коэффициентов ряда Фурье используем следующие формулы:

1. Коэффициент \(a_0\): \[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt \] где \(T\) — период функции, а \(f(t)\) — функция, которую мы разлагаем.

Заданная функция: \[ f(t) = t^2 \]

Период: от -3 до 3. То есть, период \(T = 6\).

Переходим к нахождению \(a_0\) для этой функции: \[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt \]

Подставляем значения \(T = 6\) и \(f(t) = t^2\): \[ a_0 = \frac{1}{6} \int_{-3}^{3} t^2 \, dt \]

Теперь вычислим интеграл: \[ \int_{-3}^{3} t^2 \, dt \]

Используем четность функции \(t^2\) (четные функции дают симметричное интегрирование): \[ \int_{-3}^{3} t^2 \, dt = 2 \int_{0}^{3} t^2 \, dt \]

Интегрируем: \[ 2 \int_{0}^{3} t^2 \, dt = 2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{3} = 2 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{27}{3} \right) = 2 \cdot 9 = 18 \]

Теперь находим \(a_0\): \[ a_0 = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3 \]

Таким образом, коэффициент \(a_0\) в разложении функции \(f(t) = t^2\) в ряд Фурье на интервале от -3 до 3 равен 3.