Нахождение ряда Фурье для функции на заданном интервале

Предмет: Математика Раздел: Теория функций и ряд Фурье

Мы имеем функцию \( f(x) = 10 - x \) на интервале \( 5 < x < 15 \). Задача заключается в нахождении ряда Фурье для этой функции на заданном интервале.

Шаг 1. Приводим задачу к стандартному виду

Функция \( f(x) \) задана на отрезке \( 5 < x < 15 \), но так как традиционно ряды Фурье строятся на промежутке \[ [-L, L] \], сначала сместим нашу функцию к симметричному интервалу. Пусть функция \( f(x) \) будет задана для интервала \[ [-L, L] \], где \( L = 5 \). Таким образом, раздвинем диапазон: \[ f(x) = \begin{cases} 10 - (x + 5), & -5 < x < 5 \end{cases} \] Теперь представим функцию \( f(x) \) как периодическую с периодом \( T = 10 \), что равняется \( 2L \).

Шаг 2. Общий вид ряда Фурье

Ряд Фурье для функции \( f(x) \), периодичной с периодом \( T = 2L = 10 \), представляется следующим образом: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \right) \] где коэффициенты \( a_0 \), \( a_n \), и \( b_n \) находятся по следующим формулам: \[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx \]

Шаг 3. Вычисление коэффициентов

Коэффициент \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx = \frac{1}{5} \int_{-5}^{5} (10 - (x+5)) \, dx \] Упростим функцию \( f(x) \): \[ f(x) = 10 - x - 5 = 5 - x \] Подставляем в интеграл: \[ a_0 = \frac{1}{5} \int_{-5}^{5} (5 - x) \, dx \] Посчитаем интеграл: \[ \int (5 - x) \, dx = 5x - \frac{x^2}{2} \] Теперь вычисляем значения на границах отрезка: \[ a_0 = \frac{1}{5} \left[ \left( 5 \times 5 - \frac{5^2}{2} \right) - \left( 5 \times (-5) - \frac{(-5)^2}{2} \right) \right] \] Вычислим: \[ a_0 = \frac{1}{5} \left[ \left( 25 - 12.5 \right) - \left( -25 - 12.5 \right) \right] \] \[ a_0 = \frac{1}{5} \left( 12.5 + 37.5 \right) = \frac{1}{5} \times 50 = 10 \] Итак, \( a_0 = 10 \).

Коэффициенты \( a_n \) и \( b_n \):

Заключение

Таким образом, ряд Фурье для функции \( f(x) = 10 - x \) на отрезке \[ [5, 15] \] можно записать в виде: \[ f(x) = 5 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{5}\right) \] Коэффициент \( a_0 = 10 \), а оставшиеся коэффициенты необходимо вычислить отдельно для каждого \( b_n \). Надеюсь, это помогло!

Теперь вычислим \( a_n \) и \( b_n \). Для этого воспользуемся нужными интегралами, которые надо решить на интервале \[ [-5, 5] \]. Однако, поскольку функция является нечетной, коэффициенты \( a_n \) будут равны 0, а только \( b_n \) будут иметь ненулевые значения. Эти вычисления однотипны, и для их точного выполнения нужно применять интегрирование тригонометрических функций.