Нахождение разложения данной функции в ряд Лорана в окрестностях двух точек

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к предмету комплексный анализ, раздел разложение в ряд Лорана. Наша цель заключается в нахождении разложения данной функции в ряд Лорана в окрестностях двух точек: \( z = i \) и \( z = \infty \).

Шаг 1: Исследование окрестности точки \( z = i \)

1.1 Функция:

Нам дана функция: \[ f(z) = \frac{1}{(z^2 + 1)^2} \]

Мы знаем, что \( z^2 + 1 = (z - i)(z + i) \), то есть корни находятся в точках \( z = i \) и \( z = -i \). В точке \( z = i \) у нас полюс. Рассмотрим окрестность точки \( z = i \). Чтобы было удобнее работать, сделаем замену переменной: \[ z = i + w, \quad \text{где } w \text{ — малая величина вблизи нуля}. \]

Теперь выражаем \( z^2 + 1 \) через \( w \):

\[ z = i + w \Rightarrow z^2 = (i + w)^2 = i^2 + 2iw + w^2 = -1 + 2iw + w^2. \]

Соответственно,

\[ z^2 + 1 = (-1 + 2iw + w^2) + 1 = 2iw + w^2. \]

Подставляем это в функцию:

\[ f(z) = \frac{1}{(2iw + w^2)^2}. \]

Вынесем общий множитель:

\[ = \frac{1}{(2iw)^2(1 + \frac{w}{2i})^2} = \frac{1}{4w^2} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{w}{2i})^2}. \]

Теперь разложим в ряд выражение \( \frac{1}{(1 + \frac{w}{2i})^2} \) по формуле Тейлора для геометрической прогрессии. Используя формулу разложения \( \frac{1}{(1-x)^n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} x^k \), где \( x = -\frac{w}{2i} \), получаем:

\[ \frac{1}{\left(1 + \frac{w}{2i}\right)^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k+1}{k} \left(-\frac{w}{2i}\right)^k. \]

Разложение в окрестности точки \( z = i \) будет выглядеть как ряд в степенях \( w \).

Шаг 2: Исследование окрестности точки \( z = \infty \)

При \( z \to \infty \) удобнее рассматривать функцию в терминах \( \frac{1}{z} \), что позволяет сделать замену переменной: \( \zeta = \frac{1}{z} \), и таким образом пересчитать разложение в точке \( \zeta = 0 \).

2.1 Разложение функции в терминах \( \zeta \):

\[ f(z) = \frac{1}{(z^2 + 1)^2}. \]

Теперь заменим \( z = \frac{1}{\zeta} \):

\[ f\left(\frac{1}{\zeta}\right) = \frac{1}{\left(\left(\frac{1}{\zeta}\right)^2 + 1\right)^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{\zeta^2} + 1\right)^2} = \frac{1}{\left(\frac{1 + \zeta^2}{\zeta^2}\right)^2}. \]

Это упрощается до:

\[ f\left(\frac{1}{\zeta}\right) = \frac{\zeta^4}{(1 + \zeta^2)^2}. \]

Разложим \( \frac{1}{(1 + \zeta^2)^2} \) в ряд Тейлора по переменной \( \zeta \):

\[ \frac{1}{(1 + \zeta^2)^2} = 1 - 2\zeta^2 + 3\zeta^4 - 4\zeta^6 + \dots \]

Таким образом, разложение \( f(z) \) в окрестности точки \( z = \infty \) примет вид:

\[ f(z) = \zeta^4 \cdot (1 - 2\zeta^2 + 3\zeta^4 - 4\zeta^6 + \dots) = \zeta^4 - 2\zeta^6 + 3\zeta^8 - 4\zeta^{10} + \dots \]

Теперь возвращаемся к переменной \( z \):

Это и есть разложение функции в ряд Лорана в окрестности \( z = \infty \).

Ответ:

1. Разложение в окрестности точки \( z = i \) приведено через малую переменную \( w \).
2. Разложение в окрестности точки \( z = \infty \): \[ f(z) = \frac{1}{z^4} - \frac{2}{z^6} + \frac{3}{z^8} - \frac{4}{z^{10}} + \dots \]

\[ = \frac{1}{z^4} - \frac{2}{z^6} + \frac{3}{z^8} - \frac{4}{z^{10}} + \dots \]