Нахождение области сходимости числового ряда применим признак Абеля

Анализ предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — числовые ряды и радиус сходимости степенных рядов.

Для нахождения области сходимости числового ряда применим признак Абеля или радикальный/корневой признак. Рассмотрим данный ряд.

Условие:

Рассматривается ряд: \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{2n^2}. \]
Требуется найти область сходимости.

Решение:

Шаг 1: Исследование степенного ряда

Обозначим общий член ряда как: \[ a_n = \frac{(x-4)^n}{2n^2}. \]
Сумма ряда зависит от значений \(x\), и ряд является степенным рядом по \(x\) с центром в точке \(x=4\). Нам нужно выяснить его радиус и область сходимости.

Шаг 2: Применение признака, чтобы найти радиус сходимости

Заметим, что знаменатель \(2n^2\) не зависит от \(x\), поэтому \(n^2\) контролирует сходимость ряда. Для оценки влияния \(x\) на сходимость удобно использовать признак Д’Аламбера:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1. \]

Подставим выражение для \(a_n\) и \(a_{n+1}\):

\[ a_{n+1} = \frac{(x-4)^{n+1}}{2(n+1)^2}, \quad a_n = \frac{(x-4)^n}{2n^2}. \]

Найдём отношение:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(x-4)^{n+1}}{2(n+1)^2}}{\frac{(x-4)^n}{2n^2}} = \frac{(x-4)^{n+1}}{(x-4)^n} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]

Упростим:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = |x-4| \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]

Предел при \(n \to \infty\):

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = |x-4| \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]

Так как:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1, \]

получаем:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = |x-4|. \]

По признаку Д’Аламбера, ряд сходится при:

\[ |x-4| < 1. \]

То есть радиус сходимости равен 1, а центр — в точке \(x=4\).

Шаг 3: Проверка краевых точек

Теперь проверим сходимость ряда в граничных точках \(x = 4 \pm 1\), то есть \(x = 3\) и \(x = 5\).

1. При \(x = 3\):
   Подставляем \(x=3\) в ряд:
   \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(3-4)^n}{2n^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n^2}. \]
   Этот ряд чередующийся, и его общий член \(\frac{1}{2n^2}\) стремится к нулю при \(n \to \infty\). Кроме того, \(\frac{1}{n^2}\) убывает. По признаку Лейбница ряд сходится.
2. При \(x = 5\):
   Подставляем \(x=5\) в ряд:
   \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(5-4)^n}{2n^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{2n^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2}. \]
   Этот ряд является сходящимся, так как \(\frac{1}{n^2}\) — это общий член числового ряда \(\sum \frac{1}{n^p}\), который сходится при \(p > 1\) (в данном случае \(p = 2\)).

Шаг 4: Вывод области сходимости

Область сходимости ряда: \[ x \in [3, 5]. \]