На комплексной плоскости изобразить область, заданную неравенствами

Определение предмета и раздела

Предмет: Комплексный анализ.
Раздел: Комплексная плоскость, геометрия на комплексной плоскости, неравенства и их геометрическая интерпретация.

Задание

Необходимо на комплексной плоскости изобразить область, заданную двумя неравенствами:

1. |z - 3i + 1| \geq 3
2. \text{Re}(z - 2) < \text{Im}(z)

Шаг 1: Изучение первого неравенства |z - 3i + 1| \geq 3

Начнем с первого неравенства: |z - 3i + 1| \geq 3.

z - 3i + 1 = z + 1 - 3i

Можно представить z = x + iy, где x — действительная часть и y — мнимая часть комплексного числа. Тогда z + 1 - 3i = (x + 1) + i(y - 3).

Значение модуля комплексного числа (x + 1) + i(y - 3) это:

|z + 1 - 3i| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 3)^2}

Следовательно, первое неравенство примет вид:

\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 3)^2} \geq 3

Геометрически это означает, что мы имеем окружность с центром в точке (-1, 3) и радиусом 3.

Область

Неравенство \geq говорит о том, что рассматривается внешность окружности, то есть все точки, находящиеся на расстоянии не меньшем, чем 3, от центра этой окружности. Мы имеем внешнюю область окружности с центром в точке (-1, 3) и радиусом 3.

Шаг 2: Разбор второго неравенства \text{Re}(z - 2) < \text{Im}(z)

\text{Re}(z - 2) = \text{Re}(z) - 2 = x - 2

\text{Im}(z) = y

Следовательно, второе неравенство можно переписать как:

x - 2 < y

Геометрически это — прямая с уравнением x - 2 = y. Неравенство x - 2 < y означает, что нас интересуют точки, лежащие выше этой прямой.

Шаг 3: Построение области

Теперь нужно объединить оба условия:

1. Внешность окружности с центром (-1, 3) и радиусом 3.
2. Точки, находящиеся выше прямой x - 2 = y.

Итог

1. Окружность с центром в точке (-1, 3) и радиусом 3.
2. Прямая x - 2 = y.
3. Областью является внешняя область окружности, которая находится выше прямой x - 2 = y.

На комплексной плоскости область будет располагаться вне окружности и выше прямой.