Метод Маклорена

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, интегралы и ряды Маклорена

Задание:

Вычислить интеграл \(\int_{0}^{0.8} x^{10} \sin{x} \, dx\) с точностью до \( \varepsilon = 0.001\) методом Маклорена.

Решение:

Метод Маклорена основан на разложении функции в ряд Тейлора (или Маклорена). Разложим синус в ряд Маклорена:

\[ \sin{x} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]

Следовательно,

\[ \sin{x} \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \ (если точность до \varepsilon = 0.001)\]

Теперь умножим это разложение на \(x^{10}\):

\[ x^{10} \sin{x} \approx x^{10} \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\right) \]

\[ = x^{11} - \frac{x^{13}/6} + \frac{x^{15}/120} \]

Теперь вычислим интеграл от каждого члена разложения по отдельности:

1. \(\int_{0}^{0.8} x^{11} \, dx = \left[\frac{x^{12}}{12}\right]_{0}^{0.8} = \frac{(0.8)^{12}/12} \approx \frac{0.068719476}{12} \approx 0.005726623\)
2. \(\int_{0}^{0.8} \frac{x^{13}}{6} \, dx = \frac{1}{6} \left[\frac{x^{14}}{14}\right]_{0}^{0.8} = \frac{1/6} \cdot \frac{(0.8)^{14}/14} \approx \frac{1/6} \cdot \frac{0.028991186}{14} \approx 0.000346561\)
3. \(\int_{0}^{0.8} \frac{x^{15}}{120} \, dx = \frac{1/120} \left[\frac{x^{16}/16}\right]_{0}^{0.8} \approx \frac{1/120} \cdot \frac{0.009758241/16} \approx 0.000005095\)

Сложим теперь все результаты:

\[ \int_{0}^{0.8} x^{10} \sin{x} \, dx \approx 0.005726623 - 0.000346561 + 0.000005095 \approx 0.005385157\]

Таким образом, получаем, что значение интеграла с точностью до 0.001 приблизительно равно 0.00539.