Какой вывод о сходимости ряда можно сделать на основании этой информации

Данный ряд записан как сумма:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} u_n \] И дана информация, что for all \( n \) :

\[ |u_n| < \frac{1}{n} \] Это задание относится к курсу математического анализа, а именно к теме "Сходимость рядов". Для определения сходимости данного ряда, используем известный критерий Коши для сходимости ряда, а также признак сравнения.

1. Используем признак сравнения:

Мы знаем, что:

\[ |u_n| < \frac{1}{n} \] Рассмотрим ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) . Этот ряд известен как гармонический ряд:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] Известно, что гармонический ряд расходится. То есть, сумма его членов стремится к бесконечности. Теперь применим признак сравнения. Если для двух рядов \( \sum a_n \) и \( \sum b_n \) выполняется \( 0 \leq a_n \leq b_n \) для всех \( n \) начиная с некоторого номера \( N \) , то:

• Если \( \sum b_n \) сходится, то и \( \sum a_n \) тоже сходится.
• Если \( \sum a_n \) расходится, то и \( \sum b_n \) тоже расходится.

В нашем случае мы имеем \( a_n = |u_n| \) и \( b_n = \frac{1}{n} \) . Поскольку \( \sum b_n = \sum \frac{1}{n} \) — это расходящийся ряд, и \( 0 \leq |u_n| < \frac{1}{n} \) , следовательно, исходный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \) также расходится.

Заключение:

На основании данной информации можно сделать вывод, что ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \) расходится.

Обоснование по шагам:

1. Из условия \( |u_n| < \frac{1}{n} \) для всех \( n \) .
2. Гармонический ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) известен как расходящийся ряд.
3. По признаку сравнения, если \( \sum b_n \) расходится и \( 0 \leq a_n \leq b_n \) , то \( \sum a_n \) тоже расходится.
4. Поскольку \( a_n = |u_n| \) и \( b_n = \frac{1}{n} \) , \( |u_n| < \frac{1}{n} \) , это означает, что \( \sum_{n=1}^{\infty} u_n \) тоже расходится.