Исследуй ряд (2n-1)!/(4^n*n)! от n=1 до бесконечности по признаку Даламбера

Хорошо, давайте начнем. Это задание относится к предмету математический анализ, раздел "Ряды".

Нам нужно исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!}{4^n \cdot n!}\) по признаку Даламбера. Признак Даламбера говорит: Ряд \(\sum a_n\) сходится, если \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1\), и расходится, если этот предел больше 1. Если предел равен 1, то нужно применять другие признаки сходимости.

Рассмотрим: \[a_n = \frac{(2n-1)!}{4^n \cdot n!}\]

Для применения признака Даламбера нужно найти \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\):

\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(2(n+1)-1)!}{4^{n+1} \cdot (n+1)!}}{\frac{(2n-1)!}{4^n \cdot n!}} \right| \]

Упростим выражение внутри модуля:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1)! \cdot 4^n \cdot n!}{4^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot (2n-1)!} \]

Теперь разделим числитель и знаменатель:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1)!}{4 \cdot (2n-1)!} \cdot \frac{4^n \cdot n!}{(n+1)!} \]

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1)(2n)!}{4 \cdot (2n-1)!} \cdot \frac{4^n \cdot n!}{4^n \cdot (n+1)n!} \]

Упростим выражения с факториалами:

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1) \cdot (2n)}{4} \cdot \frac{1}{n+1} \]

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+1) \cdot (2n)}{4(n+1)} \]

Теперь найдем предел этого выражения при \(\lim_{n \to \infty} \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1) \cdot (2n)}{4(n+1)} \]

Преобразуем:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 2n}{4n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 2n}{4(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 2n}{4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 2n}{4n + 4} = \lim_{n \to \infty} \left( n + \frac{1}{2} \right) = \infty \]

Итак, если предел равен бесконечности, то ряд расходится согласно признаку Даламбера.

Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!}{4^n \cdot n!}\) расходится.