Исследуй ряд (-1)^n/(1+sqrt(2n))от n=1 до бесконечности на абсолютную и условную сходимость

У нас есть ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{2n}}\), и мы должны исследовать его на абсолютную и условную сходимость. Это задание относится к предмету "математический анализ", раздел "ряды".

Проверка на абсолютную сходимость

Для проверки на абсолютную сходимость рассмотрим ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{2n}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \). Чтобы исследовать этот ряд на сходимость, воспользуемся признаком сравнения. Рассмотрим асимптотическое поведение члена \( \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \). Для больших \( n \) основной вклад в знаменатель вносит \(\sqrt{2n}\), так что примерно: \[ \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \approx \frac{1}{\sqrt{2n}}. \]

Таким образом, можно провести сравнение \( \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \) и \( \frac{1}{\sqrt{2n}} \). Исследуем ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}. \] Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \) является дивергентным (известен как гармонический ряд с показателем степени < 1, он расходится). Поскольку \( \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \) асимптотически эквивалентен \( \frac{1}{\sqrt{2n}} \), который соответствует расходимому ряду, можем заключить, что ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \) также расходится.

Проверка на условную сходимость

Для проверки на условную сходимость воспользуемся признаком Лейбница для знакопеременных рядов. Формулировка признака Лейбница гласит, что знакопеременный ряд \( \sum (-1)^n a_n \) сходится, если \( a_n \) монотонно убывает к нулю, т.е. \( a_{n+1} \leq a_n \) для всех достаточно больших \( n \) и \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). В нашем случае \( a_n = \frac{1}{1+\sqrt{2n}} \).

1. Проверка убывания последовательности: \( a_n \): Эту последовательность легко показать, что она монотонно убывает. Заметим, что каждая следующая дробь имеет больший знаменатель: \[ a_{n+1} = \frac{1}{1+\sqrt{2(n+1)}} < \frac{1}{1+\sqrt{2n}} = a_n. \] Таким образом, \( a_n \) монотонно убывает.
2. Проверка предела \( a_n \) при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\sqrt{2n}} = 0. \] Все условия признака Лейбница выполнены. Следовательно, дан ряд \(\sum_{n-1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{2n}}\) условно сходится.

Заключение

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+\sqrt{2n}} \) абсолютно не сходится, но условно сходится.