Исследуй на сходимость

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Исследуем на сходимость ряд:

\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + \cos n}{3^n + \sin n}.

Шаг 1. Оценка поведения общего члена ряда

Обозначим общий член ряда как:

a_n = \frac{2^n + \cos n}{3^n + \sin n}.

Заметим, что при больших n вклад экспоненциальных функций 2^n и 3^n доминирует над осциллирующими функциями \cos n и \sin n. Поэтому для оценки поведения a_n рассмотрим асимптотику:

a_n \sim \frac{2^n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n.

Шаг 2. Применение признака сходимости для геометрического ряда

Общий член ряда асимптотически ведет себя как \left(\frac{2}{3}\right)^n. Заметим, что \frac{2}{3} < 1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n является сходящимся (геометрический ряд).

Шаг 3. Признак сравнения

Для исходного ряда можем применить признак сравнения. Так как:

0 \leq a_n = \frac{2^n + \cos n}{3^n + \sin n} \leq C \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n,

где C — некоторая константа, то исходный ряд сходится по признаку сравнения с геометрическим рядом.

Ответ:

Ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + \cos n}{3^n + \sin n} сходится.