Исследуем на сходимость ряд

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды)

Исследуем на сходимость ряд:

\sum_{n=1}^{\infty} n! \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right).

1. Оценка поведения общего члена ряда

Общий член ряда:

a_n = n! \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right).

Заметим, что \frac{\pi}{2^n} \to 0 при n \to \infty, поэтому можно использовать приближение синуса для малых углов:

\sin x \approx x, если x \to 0.

Таким образом, для больших n:

\sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) \approx \frac{\pi}{2^n}.

Подставляя это в общий член ряда, получаем:

a_n \approx n! \cdot \frac{\pi}{2^n} = \frac{\pi n!}{2^n}.

2. Исследование сходимости

Для исследования сходимости ряда сравним его общий член с известным расходящимся рядом. Рассмотрим асимптотику \frac{n!}{2^n}:

• Факториал n! растёт значительно быстрее, чем экспоненциальная функция 2^n, так как n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (по формуле Стирлинга).
• Следовательно, \frac{n!}{2^n} \to \infty при n \to \infty.

Это означает, что общий член a_n не стремится к нулю, а наоборот, растёт бесконечно. Поэтому ряд расходится.

3. Вывод

Ряд \sum_{n=1}^\infty n! \sin\left(\frac{\pi}{2^n}\right) расходится, так как его общий член a_n не стремится к нулю.