Исследуем на сходимость данный числовой ряд

Предмет: Математика
Раздел: Ряды (исследование на сходимость)

Исследуем на сходимость данный числовой ряд:

 \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(n+3)\ln^2(2n)}. 

Шаг 1. Проверка признаков сходимости

Для исследования сходимости числового ряда применим признак сравнения или интегральный признак. Рассмотрим общий член ряда:

 a_n = \frac{1}{(n+3)\ln^2(2n)}. 

Оценка поведения знаменателя

1. Для больших n имеем \ln(2n) \sim \ln(n), так как \ln(2n) = \ln(2) + \ln(n), и добавление константы \ln(2) не влияет на порядок роста.
2. Таким образом, асимптотически общий член ряда можно записать как:  a_n \sim \frac{1}{n \ln^2(n)}. 

Теперь исследуем сходимость ряда с помощью сравнения с эталонным рядом вида:

 \sum \frac{1}{n \ln^p(n)}, 

где p > 1.

Шаг 2. Применение признака сравнения

Рассмотрим эталонный ряд:  \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \ln^2(n)}. 

Известно, что ряд \sum \frac{1}{n \ln^p(n)} сходится, если p > 1. В данном случае p = 2 > 1, значит, эталонный ряд сходится.

Так как a_n асимптотически ведет себя как \frac{1}{n \ln^2(n)}, а его дополнительный множитель \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} стремится к 1 при n \to \infty, то исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Шаг 3. Вывод

Ряд  \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(n+3)\ln^2(2n)}  сходится.