Исследовать знакопеременный ряд на сходимость.

Пример 1:

Исследовать знакопеременный ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

1) : общий член ряда имеет вид , при этом

       

- для ряда не выполнено необходимое условие сходимости - ряд расходится.

Пример 2:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Исследать знакопеременный ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид  - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Ряд из абсолютных величин расходится (по признаку сравнения), поскольку при n≥8

       

и ряд    расходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=1/10<1).

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 4:

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница. 
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется 

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0. 

Второе условие Лейбница выполняется. 
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. 
Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов. 
Признак Даламбера. 

при q < 1 - ряд сходится, q > 1 - ряд расходится, q = 1 - получаем неопределенность (дополнительные исследования). 

Поскольку q = 1, то получаем неопределенность. 
Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл: 

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. 
Следовательно, исходный ряд сходится условно. 

Пример 5:

Исследать знакопеременный ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

       

- для ряда не выполнено необходимое условие сходимости - ряд расходится.

Пример 6:

Исследовать на сходимость знакопеременный числовой ряд:

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.

Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.

Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов.

Признак Даламбера.

при q < 1 - ряд сходится, q > 1 - ряд расходится, q = 1 - получаем неопределенность (дополнительные исследования).

Поскольку q < 1, то ряд сходится.

Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 7:

Исследать знакопеременный ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид - знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Ряд из абсолютных величин расходится (по признаку сравнения), поскольку при n≥1

       

и ряд  сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=5/3).

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 8:

Исследать знакопеременный ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом для n≥3 выполнены неравенства

      

ряд  сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем q=18/19<1). Следовательно, ряд из абсолютных величин сходится (по признаку сравнения) – исходный ряд сходится абсолютно.