Исследовать сходимость знакоположительных рядов

Чтобы исследовать сходимость трёх знакоположительных рядов, воспользуемся известными признаками сходимости.

1. Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}\). Для этого ряда можно использовать интегральный признак сходимости: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} \, dx \] Сделаем замену переменной: \( t = \ln(x+1) \), тогда \( dt = \frac{1}{x+1} \, dx \) и \( dx = (x+1) \, dt \). При \( x = 1 \), \( t = \ln(2) \), при \( x \to \infty \), \( t \to \infty \). Тогда интеграл переписывается: \[ \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{t} \cdot (e^t - 1) \, dt \] Этот интеграл расходится, так как \( \frac{e^t}{t} \rightarrow \infty \) при \( t \rightarrow \infty \). Поэтому ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}\) расходится.
2. Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^5+1}}\). Сравним его с рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/2}}\). Для достаточно больших \( n \), \(\sqrt{n^5+1} \approx n^{5/2}\). Поэтому можно оценить: \[ \frac{1}{\sqrt{n^5+1}} \leq \frac{1}{n^{5/2}} \] Известно, что ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5/2}}\) сходится, так как \( \frac{5}{2} > 1 \). Следовательно, по признаку сравнения ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^5+1}}\) также сходится.
3. Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n-1}{5n+1}\right)^n\). Для исследования этого ряда применим признак Короля (признак д’Аламбера): \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|, \text{ где } u_n = \left( \frac{3n-1}{5n+1} \right)^n \] Тогда: \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \left( \frac{3(n+1)-1}{5(n+1)+1} \cdot \frac{5n+1}{3n-1} \right)^n \] При больших \( n \): \[ \left( \frac{3n+2}{5n+6} \cdot \frac{5n+1}{3n-1} \right)^n = \left( \frac{15n^2 + 11n - 6}{15n^2 + 9n + 5} \right)^n \approx \left( \frac{15}{15} \right)^n = 1^n = 1 \] Так как предел равен 1, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3n-1}{5n+1}\right)^n \) расходится.

Таким образом, ответы:

1) расходится
2) сходится
3) расходится

Правильный вариант ответа: 1), 3) расходятся, 2) сходится.