Исследовать сходимость функционального ряда в точке

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, раздел "Ряды", а точнее — исследованию сходимости функциональных рядов.

Исследуем сходимость ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1+\sqrt{n}} \left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)^n \] в точке \( x = 1 \).

Для этого подставим \( x = 1 \) в выражение: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1 + \sqrt{n}} \left(\frac{1 - 2(1)}{1 + 2(1)}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1 + \sqrt{n}} \left(\frac{1 - 2}{1 + 2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1 + \sqrt{n}} \left(\frac{-1}{3}\right)^n \]

Раскладываем дробь: \[ \left(\frac{-1}{3}\right)^n = (-1)^n \left(\frac{1}{3}\right)^n \]

Таким образом, ряд принимает вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1 + \sqrt{n}} \left(\frac{-1}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{1 + \sqrt{n}} \cdot (-1)^n \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{n}} \]

Давайте исследуем сходимость получившегося знакопеременного ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{n}} \). Для этого используем признак Лейбница:

1. Последовательность должна быть монотонно убывающей.
2. Предел последовательности должен быть равен нулю, \( a_n \to 0 \) при \( n \to \infty \).

Проверим первый признак. \[ a_n = \frac{1}{1 + \sqrt{n}} \] Так как \( n \to \infty \), то \( \sqrt{n} \to \infty \), следовательно, \( a_n \to 0 \). Кроме того, можем заметить, что \( \frac{1}{1 + \sqrt{n}} \) монотонно убывает, так как \( \sqrt{n} \) возрастает.

Таким образом, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{n}} \) соответствует признаку Лейбница.

Вывод: Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + \sqrt{n}} \) сходится условно.

Ответ: b. сходится условно