Исследовать сходимость данного знакочередующегося ряда с использованием признака Лейбница

Определение предмета:

Это задача из раздела математического анализа, которая относится к изучению рядов и их сходимости. Мы будем исследовать сходимость данного знакочередующегося ряда с использованием признака Лейбница и выясним, является ли ряд абсолютно или условно сходящимся.

---

Задание:

Исследуем сходимость ряда: \[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{3}{2n^2 - n}. \]

---

Шаг 1. Признак Лейбница (условная сходимость):

Признак Лейбница утверждает, что знакочередующийся ряд \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n\), где \(a_n > 0\), сходится, если выполняются два условия:

1. Последовательность \(\{a_n\}\) убывает (\(a_{n+1} \leq a_n\) для всех \(n \geq N\)).
2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

Здесь:

\( a_n = \frac{3}{2n^2 - n}. \)

Проверим 1-е условие: Убывание \(\{a_n\}\).

Рассмотрим \(a_n - a_{n+1}\):

\( a_n = \frac{3}{2n^2 - n}, \quad a_{n+1} = \frac{3}{2(n+1)^2 - (n+1)}. \)

Выразим разность:

\( a_n - a_{n+1} = \frac{3}{2n^2 - n} - \frac{3}{2(n+1)^2 - (n+1)}. \)

Общий знаменатель:

\( a_n - a_{n+1} = 3 \cdot \frac{\big(2(n+1)^2 - (n+1)\big) - \big(2n^2 - n\big)}{(2n^2 - n)(2(n+1)^2 - (n+1))}. \)

Упростим числитель:

\( \big(2(n+1)^2 - (n+1)\big) - \big(2n^2 - n\big). \)

Раскроем скобки и упростим:

\( 2(n+1)^2 - (n+1) = 2(n^2 + 2n + 1) - (n+1) = 2n^2 + 4n + 2 - n - 1 = 2n^2 + 3n + 1. \)

\( 2n^2 - n = 2n^2 - n. \)

Разность:

\( (2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 - n) = 4n + 1. \)

Таким образом:

\( a_n - a_{n+1} = 3 \cdot \frac{4n + 1}{(2n^2 - n)(2(n+1)^2 - (n+1))}. \)

Для \(n \to \infty\), числитель (\(4n + 1\)) растет медленнее, чем знаменатель (\(2n^2\)), следовательно, \(a_n > a_{n+1}\) для достаточно больших \(n\), и последовательность \(\{a_n\}\) убывает.

---

Проверим 2-е условие: Предел \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

\( a_n = \frac{3}{2n^2 - n}. \)

Для \(n \to \infty\):

\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n^2 - n} = 0. \)

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд условно сходится.

---

Шаг 2. Абсолютная сходимость:

Для проверки абсолютной сходимости исследуем сходящуюся сумму \(\sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^{n+1} a_n\right| = \sum_{n=1}^\infty a_n\).

Рассмотрим ряд:

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2n^2 - n}. \)

Сравним с рядом \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\), который сходится (эталонный признак сравнения для \(p\)-рядов с \(p=2 > 1\)).

Для больших \(n\):

\( \frac{3}{2n^2 - n} \sim \frac{3}{2n^2}, \) и \(\frac{3}{2n^2}\) меньше члена сходящегося \(p\)-ряда.

---

Ответ:

1. Данный ряд условно сходится по признаку Лейбница.
2. Ряд также абсолютно сходится, поскольку \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2n^2 - n}\) сходится.

Следовательно, данный ряд также сходится по признаку сравнения.