Исследовать сходимость числовых рядов

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды (исследование сходимости числовых рядов)

Рассмотрим поочередно каждую из данных бесконечных сумм.

1) Исследуем сходимость ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4n + 1} 

Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся признаком сравнения. Рассмотрим поведение общего члена:

 \frac{n}{4n + 1} 

Заметим, что при больших n выражение 4n + 1 \approx 4n, следовательно:

 \frac{n}{4n + 1} \approx \frac{n}{4n} = \frac{1}{4} 

То есть, члены ряда асимптотически приближаются к постоянной величине \frac{1}{4}. Это означает, что данный ряд сходиться не может, потому что если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.

Более строго:  \lim_{n \to \infty} \frac{n}{4n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{4} \neq 0 

Так как предел общего члена не равен нулю, то по необходимому признаку сходимости ряд расходится.

Ответ: Ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4n + 1} — расходится.

2) Исследуем сходимость ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{n!} 

Вынесем постоянный множитель 5 за знак суммы:

 5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} 

Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!}.

Заметим, что этот ряд можно упростить, используя известное разложение:

 \frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} 

Это можно проверить:

 \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{n - 1}{n!} = \frac{n}{n!} - \frac{1}{n!} 

Значит:  \frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} 

Подставим это в сумму:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \right) 

Сделаем замену индекса в первом слагаемом: пусть k = n - 1. Тогда:

 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} 

Обе суммы сходятся, и их разность также сходится. Таким образом, исходный ряд сходится.

Или использовать признак Даламбера (признак отношения):

Рассмотрим:

 \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5(n+1)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n} \to 0 

Предел отношения меньше 1, значит, по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно.

Ответ: Ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{n!} — сходится абсолютно.