Исследовать сходимость числового ряда

Предмет: Математика

Раздел: Ряды

Рассмотрим задачу 1(в). Требуется исследовать сходимость числового ряда:

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{3n^3}{5 + 2n^3}. 

Решение:

1. Проверка на знакочередующийся ряд

Ряд содержит множитель (-1)^{n+1}, что указывает на знакочередующийся характер. Для таких рядов проверяется выполнение условий Лейбница:

1. Последовательность модулей членов ряда убывает:
   a_{n+1} \leq a_n, \, \forall n \geq 1.
2. Предел членов ряда стремится к нулю:
   \lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Здесь a_n = \frac{3n^3}{5 + 2n^3}.

2. Исследование a_n

a) Проверим убывание a_n:

Рассмотрим функцию a_n = \frac{3n^3}{5 + 2n^3}. Для убывания требуется доказать, что:

 a_{n+1} = \frac{3(n+1)^3}{5 + 2(n+1)^3} \leq \frac{3n^3}{5 + 2n^3} = a_n. 

Исследуем это неравенство. Для числителя и знаменателя используем разложение:

• Числитель:
  (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1.

• Знаменатель:
  5 + 2(n+1)^3 = 5 + 2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 5 + 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2.

Видно, что при n \to \infty числитель и знаменатель растут, но знаменатель растет быстрее из-за доминирования старших степеней. Это подтверждает убывание a_n.

b) Найдем \lim_{n \to \infty} a_n:

 a_n = \frac{3n^3}{5 + 2n^3}. 

Разделим числитель и знаменатель на n^3:

 a_n = \frac{3}{\frac{5}{n^3} + 2}. 

При n \to \infty получаем:

 \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3}{2}. 

3. Вывод

Поскольку \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, ряд расходится. Условие Лейбница не выполняется.

Ответ: Ряд расходится.