Исследовать ряды на сходимость. Указать применяемые признаки.

Определение предмета:

В данном случае предметом является Высшая Математика, а разделом — математический анализ, тема: ряды с чередующимися знаками. Исследовать данный ряд на сходимость: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{3n+1}{3n-1} \]

Чтобы исследовать на сходимость ряд с чередующимися знаками, удобнее всего сначала использовать признак Лейбница, который говорит, что если:

1. Последовательность \( a_n \) (в нашем случае это \( \frac{3n+1}{3n-1} \)) монотонно убывающая.
2. И предел суммы \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).

то ряд \(\sum (-1)^n a_n \) сходится.

Рассмотрим последовательность \( a_n = \frac{3n+1}{3n-1} \):

1. Проверим, является ли \( \frac{3n+1}{3n-1} \) монотонно убывающей:

Для этого рассмотрим производную \( a_n \):

\[ f(n) = \frac{3n+1}{3n-1} \]

\[ f'(n) = \frac{(3)(3n-1) - (3n+1)(3)}{(3n-1)^2} = \frac{9n - 3 - (9n + 3)}{(3n-1)^2} = \frac{9n - 3 - 9n - 3}{(3n-1)^2} = \frac{-6}{(3n-1)^2} \]

Поскольку знаменатель \( (3n-1)^2 \) всегда положителен, а числитель \( -6 \) отрицателен, производная \( f'(n) < 0 \) для всех \( n \geq 1 \). Это говорит о том, что функция \( f(n) \) монотонно убывающая.

2. Теперь найдем предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{3n-1} \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{3n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{3 - 0} = 1 \]

Как видно, данный предел равен 1, а не 0, как это требуется для применения признака Лейбница. Следовательно, признак Лейбница здесь не применим, и данный ряд не сходится.