Исследовать ряды на сходимость

Предмет: Математика, Раздел: Математический анализ, Тема: Сумма бесконечных рядов, Исследование сходимости рядов.

Для исследования сходимости рядов рассмотрим каждый из указанных рядов по отдельности.

1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^4}\)

Рассмотрим ряд \(\frac{2^n}{n^4}\). Применим признак д'Аламбера для проверки сходимости:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^4}}{\frac{2^n}{n^4}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 2 \cdot \frac{n^4}{(n+1)^4} \right|. \]

Так как \(\frac{n^4}{(n+1)^4} \rightarrow 1 \), то:

\[ L = \lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^4 = 2 \left( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \right)^4 = 2 \left( 1 \right)^4 = 2. \]

Так как \(L = 2 > 1\), то, согласно признаку д'Аламбера, данный ряд расходится.

2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{4n+1}\)

Рассмотрим ряд \(\frac{3n}{4n+1}\). Применим предельный признак сравнения:

\[ a_n = \frac{3n}{4n+1}, \; b_n = \frac{3n}{4n} = \frac{3}{4}, \] где \(b_n\) является константой, то есть общий член \(b_n\) не стремится к 0.

Поэтому ряд \(\sum b_n\) расходится. Поскольку \(\frac{3n}{4n+1}\) асимптотически близок к \(\frac{3}{4}\) при \(n \to \infty\), ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{4n+1}\) тоже расходится.

3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{(n+3)!} \)

Рассмотрим ряд \(\frac{4^n}{(n+3)!}\). Применим признак д'Аламбера для проверки сходимости:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{4^{n+1}}{(n+4)!}}{\frac{4^n}{(n+3)!}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 4 \cdot \frac{(n+3)!}{(n+4)!} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n+4}. \]

Так как \( \frac{4}{n+4} \rightarrow 0 \), то:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n+4} = 0. \]

Так как \(L = 0 < 1\), то, согласно признаку д'Аламбера, данный ряд сходится.

Таким образом, результаты анализа следующие:

• 1. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^4}\) — расходится.
• 2. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{4n+1}\) — расходится.
• 3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{(n+3)!} \) — сходится.