Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость

Для того чтобы исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость, рассмотрим каждый ряд по отдельности.

Ряд 1:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \]

Проверим абсолютную сходимость:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin n}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \]

Так как \( |\sin n| \leq 1 \), то:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \]

Мы можем воспользоваться интегральным тестом для подтверждения сходимости. Рассмотрим интеграл:

\[ \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 \ln(x)} dx \]

Пусть \( u = \ln(x) \), тогда \( du = \frac{1}{x} dx \):

\[ \int \frac{1}{x^2 \ln(x)} dx = \int \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \]

Интеграл сходится на верхнем пределе. Следовательно, ряд \( \sum \frac{1}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \) сходится, а значит и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{(n+1)^2 \ln(n+1)} \) тоже сходится. Следовательно, первый ряд абсолютно сходится.

Ряд 2:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} \]

Это знакочередующийся ряд, поэтому используем критерий Лейбница. Проверим условия:

1. \( \frac{1}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} \) убывает
2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} = 0 \)

Первое условие выполняется, так как знаменатель монотонно возрастает. Второе условие тоже выполняется, так как предел равен нулю. Следовательно, ряд условно сходится по признаку Лейбница. Для проверки абсолютной сходимости рассмотрим:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} \]

Сравним с рядом \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2/3}} \):

\[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2/3}} dx = 3 \left[ x^{1/3} \right]_{1}^{\infty} = \infty \]

Интеграл расходится, следовательно и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2 + 3n - 1}} \) тоже расходится. Значит, второй ряд условно сходится.

Ряд 3:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1) n \left( \frac{2}{3} \right)^n \]

Проверим на абсолютную сходимость:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1) n \left( \frac{2}{3} \right)^n \right| = \sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{2}{3} \right)^n \]

Будем использовать сравнение с геометрическим рядом:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2/3} \right)^n \sum_{n=1}^{\infty} n a^n = \sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{2/3} \right)^n \]

Границы сходимости для ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} n a^n \):

Если \( |a| < 1 \), то ряд сходится. В нашем случае \( a = \frac{2/3} \), поэтому ряд сходится абсолютно.

Таким образом:

1. Абсолютно сходится
2. Условно сходится (по критерию Лейбница)
3. Абсолютно сходится (по сравнению с геометрическим рядом)

Выберите один ответ: 1), 3) абсолютно сходятся, 2) условно сходится