Исследовать ряд на сходимость сумма от 1 до бесконечности 4/((4n+1)ln(4n+1)^(1/3))

Определение предмета задания:

Учитывая структуру задания, перед нами задача из математического анализа, а именно из его раздела — исследование рядов на сходимость. Мы будем анализировать ряд вида: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(4n+1) \cdot (\ln(4n+1))^{1/3}} \]

1. Исходная постановка задачи:

Нужно выяснить, является ли данный ряд сходящимся или расходящимся. Один из подходов для исследования сходимости рядов — использование признаков сходимости.

2. Попробуем использовать признак сравнения:

Чтобы применить этот признак, желательно найти ряд, поведение которого схоже с данным, и который обладает известными характеристиками сходимости. Прежде чем анализировать, упростим выражение: \[ a_n = \frac{4}{(4n+1)(\ln(4n+1))^{1/3}} \] Для больших \( n \), \( 4n + 1 \) ведет себя подобно \( 4n \). Также рассмотрим поведение логарифмической части. Логарифмы растут медленно, поэтому даже удачное обобщение принципа сравнений может включать логарифмические функции.

3. Сравнение с известным сходящимся рядом.

Попробуем сравнить этот ряд с простым гармоническим рядом, который похож на поведение числителя: \[ \frac{1}{n \ln(n)^k} \quad \text{(с параметрами \( k \))}. \] Исследуем поведение нашего выражения для больших \( n \): \[ a_n \approx \frac{1}{n (\ln n)^{1/3}} \] Это упрощение дает следующий ряд для рассмотрения: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^{1/3}}. \] Теперь вспомним, что ряд вида: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^k} \] сходится, если \( k > 1 \). В нашем случае \( k = \frac{1}{3} \), что меньше 1, а значит, ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^{1/3}} \] расходится.

4. Заключение

Так как асимптотически ряд \( \frac{4}{(4n+1)(\ln(4n+1))^{1/3}} \) ведет себя как расходящийся ряд \( \frac{1}{n (\ln n)^{1/3}} \), и по признаку сравнения можно утверждать, что исходный ряд тоже расходится.

Ответ: Исходный ряд расходится.