Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Для начала посмотрим на поведение общего члена ряда \(\sin\left(\frac{1}{2n^2}\right)\) при больших значениях \(n\). Известно, что для малых аргументов \(x\), функция \(\sin(x)\) приближается к самому \(x\), то есть:
\[ \sin(x) \approx x \quad \text{при} \quad x \to 0. \]
В нашем случае аргумент синуса \(\frac{1}{2n^2}\) становится очень малым при больших \(n\), поэтому можно воспользоваться приближением:
\[ \sin\left(\frac{1}{2n^2}\right) \approx \frac{1}{2n^2}. \]
Таким образом, для больших \(n\) поведение членов ряда примерно такое же, как у ряда \(\sum \frac{1}{2n^2}\), что упрощает анализ.
Теперь можем сравнить наш ряд с известным рядом вида: \[ \sum \frac{1}{n^2}, \] который сходится (этот ряд является p-рядом для \(p = 2\), и он сходится, потому что \(p > 1\)). Так как \(\sin\left(\frac{1}{2n^2}\right) \sim \frac{1}{2n^2}\), т.е. ведет себя как \(\frac{1}{2n^2}\), и известно, что ряд \(\sum \frac{1}{n^2}\) сходится, можем сделать предварительный вывод о том, что и наш ряд также должен сходиться.
Для строгости используем признак сравнения. Сравним \(\sin\left(\frac{1}{2n^2}\right)\) с \(\frac{1}{2n^2}\) при больших \(n\). Так как \(\sin(x) \leq x\) для всех \(x\), в частности для нашего случая:
\[ \sin\left(\frac{1}{2n^2}\right) \leq \frac{1}{2n^2}. \]
Таким образом, наш ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{1}{2n^2}\right)\) можно сравнить с рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2}\), который сходится. По признаку сравнения, если ряд с большими членами сходится, то и ряд с меньшими членами также сходится.
Ряд \[\sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{1}{2n^2}\right)\] сходится.