Исследовать ряд на сходимость с помощью признака доломпера

Определение предмета: Это задание из раздела математического анализа, конкретно, рассматриваются ряды и их сходимость. В данном случае применяется признак Л'Опиталя (или Лопиталя) для исследования сходимости ряда.

Дано:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}}{7^n} \]

Необходимо исследовать данный ряд на сходимость с помощью признака Лопиталя.

Признак Д'Аламбера (Лопиталя):

Признак Лопиталя гласит, что для ряда с ненулевыми членами \(a_n\) ряд сходится, если существует предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \]

• Если \(L < 1\), ряд сходится.
• Если \(L > 1\), ряд расходится.
• Если \(L = 1\), признак ничего не говорит, и тогда нужно применять другие методы для исследования ряда.

Шаг 1. Найдем общий член \(a_n\):

Общий член ряда: \[ a_n = \frac{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}}{7^n} \]

Шаг 2. Найдем отношение \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\):

Исследуем предел отношения соседних членов \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\), где: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{(n+1)^2}}{7^{n+1}} \times \frac{7^n}{ \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2} } \]

Теперь упростим выражение.

Шаг 3. Упростим выражение:

Используем следующую последовательность для упрощения:

• Мы можем представить \(7^{n+1} = 7^n \cdot 7\).
• Так как \(\left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{(n+1)^2}\) затруднительно сразу упростить в явном виде, но отметим, что по мере увеличения \(n\), дробь \(\frac{n+2}{n+1}\) стремится к 1.

Теперь определим асимптотическое поведение дроби \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).

Шаг 4. Найдем предел:

Исследуем поведение при \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{7^{n+1}} \times 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} \]

Получаем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{7} < 1 \]

Шаг 5. Вывод:

Так как предел \( \frac{1}{7} \) меньше 1, то по признаку Лопиталя ряд сходится.

Ответ:

Ряд сходится.