Исследовать ряд на сходимость по признаку лейбница

Определение предмета:

Предмет: Математика, раздел - математический анализ, тема - исследование рядов на сходимость (изучение признаков сходимости рядов).

Задание:

Нам нужно исследовать данный ряд на сходимость с использованием признака Лейбница. Рассмотрим следующий знакочередующийся ряд:

Признак Лейбница:

Признак Лейбница утверждает, что знакочередующийся ряд вида:

сходится, если выполняются два условия:

1. Функция \( b_n \) (модули членов ряда, то есть \( b_n = |a_n| \)) убывает: \( b_{n+1} \leq b_n \) для всех \( n \).
2. \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).

Применение признака Лейбница:

В нашем случае:

Раскроем модуль для \( b_n \):

где \( e \approx 2.718 \). Заметим, что величина \( e - 2 \) положительна и меньше 1, поэтому:

1. Убывание членов: Члены \( b_n \) представляют собой геометрическую прогрессию с основанием \( e - 2 \approx 0.718 \). Так как \( e - 2 < 1 \), последовательность \( b_n = \frac{1}{(e - 2)^{n-1}} \) будет убывать с увеличением \( n \), т.е. \( b_{n+1} \leq b_n \).
2. Предел \( b_n \) при \( n \to \infty \): Рассмотрим предел:

Вывод:

По признаку Лейбница данный ряд сходится.