Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши

Давайте проведем исследование ряда на сходимость по признаку Коши. Принцип Коши для ряда заключается в исследовании предела $\text{(}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}\text{)}$, где $\text{(}{a}_n\text{)}$ - общий член ряда. Ряд сходится, если этот предел меньше 1, и расходится, если предел больше 1. Если предел равен 1, то признак Коши не дает окончательного ответа, и требуется дополнительный анализ.

Рассмотрим данный ряд: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n^4-n^2+1}{n^4+2n^2-3n}\right)}^n\text{]}$ Наш $\text{(}\{a_n\}\text{)}$ это $\text{(}{\left(\frac{n^4-n^2+1}{n^4+2n^2-3n}\right)}^n\text{)}$. Определим, чему равен предел $\text{(}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}\text{)}$:

$\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{{\left(\frac{n^4-n^2+1}{n^4+2n^2-3n}\right)}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^4-n^2+1}{n^4+2n^2-3n}\text{]}$

Теперь упростим выражение под знаком предел: $\text{[}\frac{n^4-n^2+1}{n^4+2n^2-3n}=\frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{1+\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3}}\text{]}$

При $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$, $\text{(}\frac{1}{n^2}\text{)}$, $\text{(}\frac{1}{n^4}\text{)}$ и $\text{(}\frac{3}{n^3}\text{)}$ стремятся к 0: $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{1+\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3}}=\frac{1}{1}=1\text{]}$

Итак, $\text{[}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=1\text{]}$

Поскольку предел равен 1, необходимо провести дополнительные исследования для определения сходимости ряда. Соответственно, правильный ответ - пункт 5.