Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши

Давайте проведем исследование ряда на сходимость по признаку Коши. Принцип Коши для ряда заключается в исследовании предела \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\), где \(a_n\) - общий член ряда. Ряд сходится, если этот предел меньше 1, и расходится, если предел больше 1. Если предел равен 1, то признак Коши не дает окончательного ответа, и требуется дополнительный анализ.

Рассмотрим данный ряд: \[\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n^4 - n^2 + 1}{n^4 + 2n^2 - 3n}\right)^n \] Наш \(\{a_n\}\) это \(\left(\frac{n^4 - n^2 + 1}{n^4 + 2n^2 - 3n}\right)^n\). Определим, чему равен предел \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\):

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n^4 - n^2 + 1}{n^4 + 2n^2 - 3n}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4 - n^2 + 1}{n^4 + 2n^2 - 3n}\]

Теперь упростим выражение под знаком предел: \[\frac{n^4 - n^2 + 1}{n^4 + 2n^2 - 3n} = \frac{1 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}}{1 + \frac{2}{n^2} - \frac{3}{n^3}}\]

При \(n \to \infty\), \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{1}{n^4}\) и \(\frac{3}{n^3}\) стремятся к 0: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}}{1 + \frac{2}{n^2} - \frac{3}{n^3}} = \frac{1}{1} = 1\]

Итак, \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\]

Поскольку предел равен 1, необходимо провести дополнительные исследования для определения сходимости ряда. Соответственно, правильный ответ - пункт 5.