Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера

Задание относится к математике, конкретно к теме "Ряды", используемой в высшей математике.

В данном случае нужно исследовать ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Признак Даламбера для бесконечного ряда \( \sum u_n \) говорит о том, что если \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = L\), то:

• Если \(L < 1\), то ряд сходится.
• Если \(L > 1\), то ряд расходится.
• Если \(L = 1\), то признак Даламбера не дает информации о сходимости ряда.

Даны члены ряда: \( u_n = \frac{6n - 1}{5^n} \).

Рассчитаем отношение \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \):

\[ u_{n+1} = \frac{6(n+1) - 1}{5^{n+1}} = \frac{6n + 6 - 1}{5^{n+1}} = \frac{6n + 5}{5^{n+1}} \]

Теперь находим \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \):

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{6n + 5}{5^{n+1}}}{\frac{6n - 1}{5^n}} = \frac{6n + 5}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{6n - 1} = \frac{(6n + 5) \cdot 5^n}{5^{n+1} \cdot (6n - 1)} = \frac{6n + 5}{5 \cdot (6n - 1)} \]

Теперь упростим выражение:

\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{6n + 5}{30n - 5} = \frac{6n + 5}{30n - 5} = \frac{6n + 5}{30n - 5} = \frac{6n + 5}{30n - 5} = \frac{6 + \frac{5}{n}}{30 - \frac{5}{n}} = \frac{6 + \frac{5}{n}}{30 - \frac{5}{n}} \]

Теперь найдем предел при \( n \to \infty \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{n}}{30 - \frac{5}{n}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]

Итак, предел отношения:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{5} \]

Так как \( \frac{1}{5} < 1 \), по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: \( \text{Так как} \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{5}, \text{то по признаку Даламбера ряд сходится.} \)