Исследовать ряд на сходимость. использовать как сумму ряда

Данный вопрос принадлежит области математического анализа, а конкретно — разделу, который изучает сходимость числовых рядов.

Условие задачи

Нам необходимо исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{9}{8^{n-1}} \right) \]

Разбор задачи

1. Упрощение общего члена ряда:

   Рассмотрим общий член ряда: \[ a_n = \ln \left( 1 + \frac{9}{8^{n-1}} \right) \]
   Можем переписать его как: \[ a_n = \ln \left( 1 + 9 \cdot 8^{-(n-1)} \right) \]
   Заметим, что при \ (n \to \infty) \ величина \ (8^{-(n-1)} \to 0) \, что означает логарифм приближается к \ ( \ln(1) = 0 ) \.

2. Асимптотическое поведение при больших значениях \ (n) \:

   При больших \ (n), \ (8^{-(n-1)}) \ становится очень малым, поэтому можем воспользоваться приближением логарифма для малых величин: \ [ \ln(1 + x) \approx x \quad \text{при} \quad x \to 0 \] \
   В нашем случае: \[ \ln \left( 1 + \frac{9}{8^{n-1}} \right) \approx \frac{9}{8^{n-1}} \]
   Таким образом, для больших \ (n), \[ a_n \approx \frac{9}{8^{n-1}} \]

3. Переход к геометрической прогрессии:

   Фактически, теперь мы свели исследование ряда к геометрическому ряду: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{8^{n-1}} \]
   Это геометрический ряд с первым членом \ (9) \ и знаменателем \ (\frac{1}{8}) \. Известно, что сумма бесконечного геометрического ряда \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\) сходится, если \ (|r| < 1) \, и его сумма равна: \[ S = \frac{a}{1 - r} \]
   В нашем случае: - \ (a = 9) \ - \ (r = \frac{1}{8}) \
   Следовательно, сумма этого ряда: \[ S = \frac{9}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{9}{\frac{7}{8}} = \frac{9 \cdot 8}{7} = \frac{72}{7} \]
   Итак, сумма ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{8^{n-1}}\) равна \(\frac{72}{7}\), а сам ряд сходится.

4. Вывод о сходимости исходного ряда:

   Так как для больших \ (n) \ члены ряда \ (a_n) \ ведут себя как члены сходящегося геометрического ряда, исходный ряд также сходится.

Ответ:

Исходный ряд сходится.